3.3. Запаздывающие ренты

Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится по рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке процентов годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются лет, на второй - и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Наращенные к концу срока суммы каждого взноса составят:

Если ряд переписать в обратном порядке, он будет представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Число членов прогрессии равно . Тогда

(3.5)

(3.6)

- коэффициент наращения ренты продолжительностью , с процентной ставкой . Следовательно,

(3.7)

Для определения современной стоимости ренты воспользуемся зависимостью (3.3).

(3.8)

где -коэффициент приведения ренты.

(3.9)

Пример 3.3. Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной запаздывающей годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Величину фонда на конец срока определяем по (3.5):

= 4 = 28,9 млн. руб.

Современную стоимость этой ренты найдем по (3.8) получим:

= 4 = 12,368 млн.руб.

Т.о., все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение пяти лет.

Аналогичным образом получают формулы для других видов рент (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Формулы для расчета наращенной суммы s и современной стоимости a постоянных запаздывающих рент

Количество платежей в году	Количество начислений % в году	Наращенная сумма S	Современная стоимость A
	m = 1
р = 1	m > 1
	m = 1
p > 1	m = p
	m p

Определение члена ренты. Исходные условия: задается или и набор параметров, кроме . Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, с ежегодным начислением процентов, то по формуле (3.7) получим:

(3.10)

Пусть теперь известна современная стоимость ренты. Тогда из (3.8) следует:

(3.11)

Пример 3.4. Определим размеры периодических взносов при решении двух следующих задач:

а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн. руб.;

б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме 100 млн. руб.

Срок в обоих случаях 5 лет, процентная ставка 20%, платежи ежегодные в конце года.

а) = 100, = 13,438 млн.руб.

б) = 100, = 33,438 млн.руб.

Расчет срока ренты. Из выражений для определения и найдем . Так для годовой ренты с ежегодным начислением процентов находим из (3.5):

(3.12)

Пример 3.5. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежегодно вносится по 10 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?

По формуле (3.12) находим:

года.

Если срок округляется до 6 лет, то необходимо несколько увеличить размер члена ренты для . В этом случае ежегодный взнос из (3.10) должен составить:

млн.руб.

Аналогичным образом получают формулы для расчета срока и для других видов рент (табл. 3.2).

Таблица 3.2