2.5. Конверсия платежей

Общая постановка задачи. Иногда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Принцип изменения контракта - финансовая эквивалентность обязательств.

Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена на в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

Пример 2.10. Имеются два обязательства. Первое - выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; второе - выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев.

Т.к. платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку равную, допустим, 20%.

тыс. руб.; тыс. руб.

Т.о. сравниваемые обязательства не являются эквивалентными.

Общий метод решения заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных - с помощью сложных ставок.

Если приведение платежей осуществляется на начальную дату, то получим:

для простых процентов ;

для сложных процентов .

Здесь и - параметры заменяемых платежей, и - параметры заменяющих платежей.

Конкретный вид уравнения определяется содержанием контрактов, поэтому методику их разработки рассмотрим на примерах.

Пример 2.11. Две суммы - 10 и 5 млн. руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января (следующего года). Стороны согласились пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачивает 6 млн. руб. Остаток долга гасится 1 марта.

Необходимо найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов 20% (К = 365). Условия задачи приведены на рис. 2.4. базовая дата - момент выплаты 5 млн. руб.

Тогда

Отсюда находим млн.руб.

10 6 5 -? 30 100 -?

1.11 1.12 1.01 1.03 0 2 5 6

Рис.2.4 Рис.2.5

Пример 2.12. Имеется обязательство уплатить 10 млн. руб. через 4 месяца и 7 млн. руб. через 8 месяцев. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Используется простая ставка 10% (К = 360). За базовую дату примем начало отсчета времени.

Отсюда млн. руб.

Пример 2.13. Существует обязательство уплатить 100 млн. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 30 млн. руб., а оставшийся долг спустя 6 лет (рис. 2.5). Уравнение эквивалентности составим на конец шестого года. Используем сложную процентную ставку.

Пусть ставка равна 10% годовых. млн. руб.

Консолидирование задолженности. Часто изменение условия заключается в консолидации (объединении) платежей. Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . Возможны две постановки задачи:

1) задан срок , найти сумму ;

2) задана сумма , определить срок .

Определение суммы консолидированного платежа. В общем случае, когда , причем находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

Для простых процентных ставок

(2.16)

где - размеры объединенных платежей со сроками ;

- размеры платежей со сроками ;

.

Пример 2.14. Два платежа - 1 и 0.5 млн. руб. со сроками уплаты 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть согласована простая ставка 20% годовых. Консолидированная сумма долга

млн.руб.

При консолидации платежей на основе сложных ставок вместо (2.16) получим формулу для общего случая

(2.17)

Пример 2.15. Платежи 1 и 2 млн. руб. со сроками уплаты 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%.

= 1x 1,2^0,5 + 2 x 1,2^-0,5 = 2,92119 млн. руб.

Определение срока консолидированного платежа. Задана величина консолидированного платежа , определить его срок . Уравнение эквивалентности представим в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки

, (2.18)

для сложных процентных ставок

. (2.19)

Из этих уравнений находят срок .

Пример 2.16. Суммы 10, 20, и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежем 50 млн. руб. с отсрочкой платежа.

Современная стоимость заменяемых платежей при простой ставке и , составит:

Из (3.3) находим или 507 дней.

Пусть теперь размер заменяющего платежа 45 млн. руб. Тогда

или 96 дней.