6.2. Портфель инвестиций
Рассмотрим
модель инвестирования капитала на
единицу времени в экономику, состоящую
из
типов акций. Будем полагать, что через
единицу времени все фирмы ликвидируются,
а полученные доходы распределяются
среди акционеров. Дивиденды, выплачиваемые
на акции каждого типа, будем считать
случайными величинами.
Обозначим
- дивиденд, выплачиваемый на акцию
Пусть
- цена акции
в начальный момент времени. Тогда
доходность акции
(6.1)
Так
как это случайная величина, то используют
ее математическое ожидание
и дисперсию
.
Квадратный корень из дисперсии называют
средним квадратическим отклонением
.
Таким
образом, каждой акции
ставят в соответствие ожидаемую
доходность
и среднее квадратическое отклонение
.
Взаимная зависимость акций определяется
матрицей ковариации
В частности
Рассмотрим
теперь некоторого инвестора, имеющего
капитал
и желающего весь его инвестировать в
акции с целью получения дохода через
единицу времени. Допустим, что
- число акций типа
,
купленных в начальный период. Тогда
(6.2)
Обозначим
(6.3)
долю инвестиций в акции типа Набор действительных чисел
удовлетворяющих
условию
называется портфелем инвестиций.
Доходность портфеля инвестиций будет складываться из доходностей отдельных акций. Доходность портфеля инвестиций и его дисперсия определяются по формулам:
(6.4)
(6.5)
Для каждого допустимого портфеля на плоскости “риск-доходность” можно отметить точки, координаты которых равны среднему квадратическому отклонению и ожидаемой доходности портфеля.
Рисунок
6.1 показывает возможные соотношения
между риском и доходностью на данном
рынке. Каждая точка области соответствует
портфелю инвестиций. Если инвестор
заинтересован в максимизации ожидаемой
доходности
и минимизации риска
,
то для него играет роль правило левого
верхнего угла. Суть его: если выбрать
некоторый портфель
и на соответствующей ему точке построить
левый верхний угол, то любой портфель
с соответствующей ему точкой из
построенного угла является для инвестора
более предпочтительным.
Рис. 6.1
Для
каждого допустимого значения доходности
можно выбрать граничную точку,
соответствующую портфелю инвестиций
с заданной ожидаемой доходностью и
наименьшим риском. На рис. 6.1 для заданной
доходности
это точка В.
Понятно, что для инвестора координаты граничных точек и соответствующие им портфели являются наиболее важными с точки зрения оптимального выбора инвестиций, так как с учетом правила левого верхнего угла для любой внутренней точки области всегда найдется более предпочтительная точка на границе. Граница области выпукла влево, ее форма показана на рис. 6.1.