7.3. Биномиальная модель оценки стоимости опционов

Допустим, что цена акции в момент времени есть случайный процесс, изменения которого происходят согласно биномиальной модели эволюции цен, построенной в п. 6.5. Это означает, что в течение каждого периода независимо от других периодов цена акции либо возрастает в раз с вероятностью либо уменьшается в раз с вероятностью Вероятности и являются нейтральными к риску и определяются по формулам (7.5). Тогда распределение случайной величины задано формулой (6.22).

Рассмотрим европейский колл-опцион на данную акцию с ценой исполнения и моментом исполнения Обозначим через доход покупателя колл-опциона на дату погашения Это и будет цена колл-опциона в момент времени Случайная величина зависит от цены базового актива:

(7.12)

Тогда справедливой ценой опциона будет математическое ожидание случайной величины , дисконтированное по безрисковой процентной ставке:

(7.13)

или

(7.14)

Найдем наибольшее целое значение, при котором выполнено условие по формуле

. (7.15)

Тогда формулу (7.14) можно переписать

Обозначим тогда подставляя значение (7.5) получим . В итоге получаем

(7.16)

Введем обозначение для дополнительной функции биномиального распределения

.

Тогда формулу (7.16) можно переписать

(7.17)

Пример 7.5. Текущая цена акции 1500 рублей. Известно, что к концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену пятипериодного европейского колл-опциона на одну акцию, если цена его исполнения равна 3000 рублей, а безрисковая процентная ставка составляет 10%.

Итак, .

Найдем критическое значение по формуле (7.15)

округляем до меньшего целого, то есть

Далее определяем вероятности:

По формуле (7.16) найдем

Так как в формуле цены колл-опциона (7.17) используются только вероятности биномиального распределения, из нее можно получить более удобную формулу, если произвести предельный переход при и воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа. При достаточно больших дополнительная функция биномиального распределения приближается дополнительной функцией нормального распределения с параметрами и

где функция Лапласа.

Таким образом, зная зависимость величин и от переменной , для оценки вероятности достаточно вычислить предел:

. (7.18)

Тогда

Будем предполагать, что известны численные оценки логарифмической средней и волантильности динамики цены акции:

(7.19)

время погашения колл-опциона на эту акцию.

В формуле (7.17) две вероятности для одинакового и различных и Вычислим предел (7.18) для различных по отдельности.

Рассмотрим вначале Известно, что

где

Учитывая, что , где непрерывно начисляемая процентная ставка, преобразуем формулу для

.

Введем специальные обозначения:

(7.20)

Тогда и Получаем

(7.21)

Для вероятности в результате преобразований получаем

,

где определяется по формуле (7.20).

Отсюда следует

(7.22)

В формуле (7.16)

, переходим к пределам (7.21) и (7.22). Воспользовавшись тем, что

,

получаем формулу Блэка-Шоулса:

, (7.23)

где и определяются формулой (7.20).

На практике можно применять приближенную формулу

(7.24)

Для определения цены европейского пут-опциона с тем же временем погашения и ценой погашения воспользуемся уравнением связи

.

Подставляя вместо формулу (7.23) получим:

. (7.25)

Пример 7.6. Необходимо найти цену европейского колл-опциона на одну акцию с ценой исполнения 1800 рублей и временем погашения при условии, что текущая цена одной акции равна 1000 рублей, непрерывно начисляемая процентная ставка составляет 11,32%, а темп роста логарифма цены акции имеет среднее квадратическое отклонение 0,22. Таким образом, параметры модели следующие:

Сначала определим вспомогательные величины.

Следовательно,

.

По формуле (7.20) находим значения критических точек и :

Подставляя полученные значения в формулу Блэка-Шоулса (7.23), получаем искомую цену европейского колл-опциона:

рублей

Цена колл-опциона по приближенной формуле (7.24) равна

рублей.

Найдем цену пут-опциона на ту же акцию

рублей.