§ 8. Понятие динамических характеристик

Поведение элемента системы автоматического регулирования в динамике (в переходном режиме) описывается дифференциальным уравнением. Линейные элементы описываются линейными диффе­ренциальными уравнениями. Вместе с тем в практике расчета CAP используют такие динамические характеристики, как передаточная функция; переходная функция (временная характеристика) и ампли­тудно-фазовая характеристика

Введем эти понятия.

Пусть дифференциальное уравнение системы поддержания по­стоянного давления в сепараторе газа (см. рис. 11.4) имеет вид

где ТК. — постоянные коэффициенты; Δр—отклонение давления в сепараторе от заданного значения; ΔQг—изменение расхода газа на выходе из сепаратора.

Поскольку давление в сепараторе — выходная величина этого объекта, а расход газа—входная, уравнение (11.2) можно предста­вить в виде

Здесь Хвых и Хвх имеют определенную размерность. Вместе с тем при расчете CAP используют представление дифференциальных уравнений в безразмерной форме. При этом отклонения параметров относят к некоторым постоянным, так называемым номинальным или базовым.

В нашем случае примем в качестве базовых значений давление в сепараторе р_н и расход газа на выходе сепаратора Qнг в номи­нальном режиме (состоянии равновесия). Для получения уравнения (11.2) в безразмерной форме умножим и разделим соответствующие члены уравнения на р_н и Qнг:

где φ=Δр/р_н; μ=Qг/Qнг,

Полученное уравнение (11.3) есть дифференциальное уравнение объекта.

Переход от дифференциального уравнения к алгебраическому ос­нован на применении специального математического приема — пре­образования Лапласа. При этом функция вещественного переменного (обычно времени t) преобразуется в функцию комплексного пере­менного

где р=σ±jω, σ и ω—вещественные переменные. Функция f(t) на­зывается оригиналом, а функция F(p)—изображением функ­ции f(t).

Операция преобразования Лапласа весьма сложна. Однако при нулевых начальных условиях запись преобразованного по Лапласу дифференциального уравнения совпадает с его записью в оператор­ной форме, при которой

Дифференциальное уравнение (11.2,а) в операторной форме бу­дет иметь вид

То же уравнение, преобразованное по Лапласу при нулевых на­чальных условиях, будет иметь вид

где запись Хвых(р) и Хвх(р) означает, что выходная и входная ве­личины являются функциями комплексного параметра р. Преобразуем уравнение (11.6)

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изо­бражению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет перейти от дифференциального уравнения (11.2,а) к алгебраическому уравне­нию (11.8).

Сравнивая уравнения (11.5) и (11.6), можно указать простой прием определения передаточной функции из дефференциального уравнения. Для этого нужно оператор дифференцирования d/dt за­менить оператором р и взять отношение выходной величины к вход­ной.

Итак, дифференциальное уравнение и передаточная функция устанавливают связь входной и выходной величин в динамическом режиме. Если известен закон изменения входной величины, то мож­но из решения дифференциального уравнения получить закон изме­нения выходной величины, т. е. характер переходного процес­са. В реальных условиях изменения входных величин (возмущающие воздействия) могут иметь самый различный характер.

При исследовании динамики систем автоматического регулирова­ния широко применяют такой искусственный прием: исследует ре­акцию отдельных элементов и систем на некоторые так называемые типовые возмущающие воздействия и на основании по­лученных результатов делают выводы о свойствах этих элементов и систем. Для этой цели выбраны такие воздействия, которые от­ражают наиболее существенные особенности реальных возмущений. Тогда, зная реакцию элементов и систем на типовые возмущающие воздействия и представив реальные возмущения как сочетания та­ких типовых воздействий, можно предсказать характер переходных процессов в элементах и системах при реальных условиях.

Одним из таких типовых возмущающих воздействий является скачкообразное изменение входной величины, например изменение производительности скважины на конечную величину, открытие или прикрытие задвижки на трубопроводе и т. п.

Математически это представляется в виде ступенчатой функ­ции. Это воздействие равно нулю при t<0 и равно постоянному значению А при t≥0 (рис. 11.9,а), т. е.

Для сравнения динамических свойств элементов, характеризую­щихся входными воздействиями различной природы, ступенчатое ти­повое входное воздействие представляется в виде так называемого

единичного скачка, который передает характер ступенчатого воздействия, но является безразмерным (рис. 11.9,6):

Зависимость изменения выходной величины элемента системы во времени под действием возмущения на входе типа единичного скачка называется переходной функцией и обозначается h(t) (рис. 11.9,з). Таким образом, переходная функция является безраз­мерной динамической характеристикой. Она называется также часто временной характеристикой.

В качестве типового возмущающего воздействия используют так­же гармоническую функцию. Этот вид воздействия подчиня­ется закону

где А—амплитуда; ω—круговая частота.

Если на вход линейного элемента подать такое возмущение, то по истечении некоторого времени на его выходе также установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, что и возмущающее воздействие на входе, но с другими амплитудой и фазой. При изменении частоты входного воздействия будут меняться амплитуда и фаза выходной величины. Это явление лежит в основе частотных методов исследования системы автоматического регули­рования.

П

ри некотором фиксированном значении частоты ω входного сигнала W(jω) представляет собой вектор с амплитудой и фазой φ(ω). Изменяя ω от 0 до +∞ получим семейство векторов, а соединив концы этих векторов плавной кривой, — годограф амплитудно-фазовой характеристики (АФК). При изме­нении а от 0 до—∞ получаем зеркальное отображение этой кривой относи­тельно вещественной оси, поэтому при практических расчетах ограничиваются положительными значениями ω.

Построим амплитудно-фазовую ха­рактеристику, описываемую выражением (11.19). С этой целью избавимся от ир­рациональности в знаменателе и пред­ставим АФК в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Изменяя ω от 0 до ∞, получим АФК, .показанную на рис. 11.10. Иногда в практике расчета CAP используют отдельные состав­ляющие амплитудно-фазовой характеристики. Так, функция Р(ω) называется вещественной частотной характеристикой, а функция Q (ω) —мнимой частотной характеристикой. Функция — амплитудно-частотной, а функция φ(ω) —фазочастотной характеристиками.

Таким образом, основными динамическими характеристиками элементов и систем являются передаточная и переходная функции, а также амплитудно-фазовая характеристика.