Контрольные вопросы

1. Объясните понятия «возмущающее» и «управляющее» воздействия.

2. Перечислите разновидности обратной связи.

3. Дайте определение разомкнутой и замкнутой CAP.

4. Назовите основные элементы CAP.

5. Чем отличаются системы прямого и непрямого действия?

6. Дайте определения систем стабилизации, программного управления и сле­дящих.

7. Какие требования предъявляются к CAP?

8. Что такое «статическая характеристика»?

9. Объясните метод получения передаточной функции элементов CAP.

10. Дайте определение переходной функции.

11. Объясните метод построения годографа амплитудно-фазовой характери­стики.

Глава 12 расчет систем автоматического регулирования

§ 1. Типовые динамические звенья

Элементы систем автоматического регулирования могут иметь различные конструктивные формы, различные схемы и различные физические принципы действия. Однако с точки зрения теории авто­матического регулирования более целесообразно классифицировать их по динамическим свойствам. При этом для исследования процес­сов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характе­ризуют реально существующие звенья.

Как уже было сказано, динамические свойства линейных элемен­тов описываются линейными дифференциальными уравнениями. В общем случае порядок дифференциального уравнения элемента может быть произвольным. Однако такой сложный элемент всегда может быть представлен в виде сочетания так называемых типо­вых динамических звеньев, описываемых простейшими урав­нениями.

Число таких типовых динамических звеньев невелико. Они опи­сываются линейными дифференциальными уравнениями, которые имеют порядок не выше второго.

Звено называют усилительным, если его входная и выход­ная величины связаны алгебраическим уравнением вида

где К—коэффициент усиления звена.

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу про­изводится мгновенно, без какой-либо инерции. Поэтому усилительное звено часто называют безынерционным.

Переходная функция звена при подаче на его вход воздействия типа единичного скачка (Хвх==1) имеет вид

График переходной функции показан на рис. 12.1,а. Эта функция соответствует идеальному усилительному звену. Отклонение харак­теристики реального звена от идеального показано пунктиром.

Передаточная функция звена

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики имеет вид

В этом выражении мнимая часть W(jω) равна нулю, а вещест­венная часть равна К.. Годограф амплитудно-фазовой характеристи­ки (рис. 12.1,6) представляет собой точку на вещественной оси на расстоянии К. от начала координат.

Примеры усилительных звеньев: рычажная и редукторная пере­дачи, манометр.

Звено называется апериодическим, если его входная и вы­ходная величины связаны дифференциальным уравнением вида

где Т и К—соответственно постоянная времени и коэффициент уси­ления звена. Такое звено также называют инерционным.

После решения уравнения (12.5) при скачкообразном характере изменения входной величины (Хвx=const) получим уравнение экспо­ненты

При t→∞ выходная величина Хвых стремится к новому установив­шемуся значению К_Хвх.

Изменяя то от 0 до ∞, подучим годограф амплитудно-фазовой характеристики звена (рис. 12.2,6). Он представляет собой полу­окружность радиусом К/2, расположенную в IV квадранте комплекс­ной плоскости с центром на вещественной оси и на расстоянии К/2 от начала координат.

Примеры апериодических звеньев: рассмотренный" сепаратор, тер­мопара, контур из сопротивления и емкости.

Звено называют интегрирующим, если его выходная величи­на пропорциональна интегралу по времени от входной величины:

Годограф амплитудно-фазовой характеристики звена показан на рис. 12.3,б. Он представляет собой прямую, совпадающую с отри­цательной мнимой полуосью координат.

Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический ис­полнительный механизм, у которого входом является количество жидкости, подаваемой в цилиндр, а выходом — перемещение поршня; конденсатор, заряжаемый током.

Звено называется дифференцирующим, если его выходная величина пропорциональна скорости изменения входной. Различают идеальное и реальное дифференцирующее звенья.

Дифференциальное уравнение идеального дифференцирующего звена имеет вид

Так как в реальных условиях элементов, описываемых уравнения­ми типа (12.17), не существует, в число типовых звеньев вводится звено, выполняющее дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такое звено называют реальным дифференцирующим.

Дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена имеет вид

После решения уравнения .(12.18) при скачкообразном характере изменения входной величины Хвx==const получим уравнение экспо­ненты

При t=0 выходная величина Хвых=К_Хвх, при t→∞ выходная вели­чина .Хвых→0. ...

Представим это выражение в виде суммы вещественной и мни­мой частей.

Годограф амплитудно-фазовой характеристики звена показан на рис. 12.4,6. Он представляет собой полуокружность радиусом К/2, расположенную в I квадранте комплексной плоскости с центром на вещественной оси и на расстоянии К/2 от начала координат.

Примеры реальных дифференцирующих звеньев: цепь с сопротив­лением и емкостью, гидравлический успокоитель с пружиной.

Звено называют колебательным, если связь между выходной и входной величинами определяется уравнением вида

Переходная функция звена при подаче на его вход единичного скачка Хвх==1(t) имеет вид

График переходной функции показан на рис. 12.5,а (кривая 1). При t→∞ эта функция стремится к новому установившемуся зна­чению, совершая вокруг него затухающие колебания с частотой ω.

Годограф амплитудно-фазовой характеристики звена показан на рис. 12.5,б. Примеры колебательных звеньев: электрический контур, содержащий емкость; индуктивность и омическое сопротивление; дифференциальный манометр.

Как уже было сказано, колебательный затухающий процесс в зве­не, описываемом уравнением (12.24), имеем лишь в том случае, когда корни характеристического уравнения являются комплексными с отрицательной вещественной частью [см. соотношение (12.28)].

Если Т -4Т >0, т.е. Т₂>2Т_1, то корни характеристического уравнения получаются вещественными. Решение уравнения (12.24) будет иметь вид

где А₁ .и А₂ постоянные интегрирования; р₁, р₂—корни характе­ристического уравнения.

Переходная функция имеет вид

Г

рафик переходной функции показан на рис. 12.5,а (кривая 2). Эта функция при t→∞ стремится к новому установившемуся значению, не превышая его, т. е. апериодически.

Такое звено можно пред­ставить как два последова­тельно соединенных апериоди­ческих звена и поэтому назы­вается апериодическим звеном II порядка. Этот случай имеет большое значе­ние в практических исследова­ниях, так как такими переход­ными функциям и обладают многие технологические объ­екты.

В реальных технологиче­ских объектах часто при изме­нении входной величины выходная начинает изменяться не сразу, а по истечении некоторого времени, называемого временем запаздывания.

Для характеристики таких объектов вводится понятие звена запаздывания,: в; котором выходная величина повторяет характер изменения входной величины без искажения, но с некоторым отста­ванием по времени. Тогда объект с запаздыванием может быть представлен как сочетание рассмотренных звеньев и звена запазды­вания.

Уравнение звена запаздывания имеет вид

Годограф амплитудно-фазовой характеристики звена запаздыва­ния, построенный по уравнению (12.43), показан на рис. 12.6,6. Он представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Передаточная функция звена

График переходной функции звена показан на рис. 12.6,а.