§ 2. Математические модели регуляторов

Основными показателями качества общепромышленных автомати­ческих регуляторов следует считать показатели динамической точно­сти и надежности реализации заданного закона регулирования. Оче­видно, что сконструировать регулятор, абсолютно точно реализую­щий заданный закон, практически невозможно. Поэтому регуляторы, которые точно воспроизводят приводимые ниже уравнения, называют идеальными. Реальные конструкции регуляторов описыва­ются уравнениями, которые в меньшей или большей степени отлича­ются от идеальных, что приводит к некоторому изменению качества регулирования по сравнению с расчетным.

Пропорциональными (П) называют регуляторы, у которых выходная величина пропорциональна отклонению текущего значения Хт регулируемого параметра от заданного Хз.

Коэффициент пропорциональности К. в этом выражении называет­ся коэффициентом усиления регулятора и является его настроечным параметром.

Введя обозначение Хвх=Хт—Хз, получим

В динамическом отношении П-регулятор представляет собой уси­лительное звено. Передаточная функция регулятора имеет вид

Временная характеристика П-регулятора при скачкообразном отклонении текущего значения регулируемого параметра от заданно­го Xвx=Ао показана на рис. 13.1,а.

Из выражения (13.2) следует, что каждому значению отклонения Хвх=Хт—Хз соответствует определенное значение выходной величины регулятора, т. е. в системе с П-регулятором возможны состояния равновесия при различных текущих значениях регулируемого пара­метра. П-регулятор не устраняет отклонение, он лишь приводит си­стему к новому состоянию равновесия, соответствующему новому значению регулируемого параметра. Преимущество такого регулято­ра заключается в быстром восстановлении равновесия в системе. Тот факт, что это равновесие наступает при новом значении регулируемого параметра, является недостатком П-регулятора. Остаточное откло­нение регулируемого параметра x_т—х_з называется статической ошибкой П-регулятора.

Согласно уравнению (13.2), при равенстве текущего и заданного значений регулируемого параметра (Хвх=Хт—Хз=0) в состоянии рав­новесия выходная величина регулятора Хвых==0, т. е. регулирующий орган занимает одно из своих крайних положений. Для того чтобы при Хт=Хз регулирующий орган мог занимать промежуточное поло­жение в пределах своего хода, в реальных конструкциях регуляторов предусматривается введение дополнительной составляющей на выхо­де регулятора Хвых.нач, причем так, чтобы при Хт==Хз соблюдалось условие Хвых=Хвых.нач.

Тогда уравнение П-регулятора имеет вид

Кроме того, в реальных регуляторах в результате некоторой инер­ционности характеристика несколько отличается от идеальной (см. пунктир на рис. 13.1,а).

П-регуляторы часто называются статическими. Интегральными (И) называют регуляторы, у которых вы­ходная величина пропорциональна интегралу от отклонения регули­руемого параметра:

Здесь К—коэффициент усиления; Т—постоянная времени регу­лятора, К и Т—параметры настройки регулятора.

В динамическом отношении И-регулятор представляет собой инте­грирующее звено. Передаточная функция его имеет вид

Временная характеристика И-регулятора при скачкообразном от­клонении регулируемого параметра Хвх=Ао показана на рис. 13,1,6. Выражение (13.5) в дифференциальной форме имеет вид

Отсюда видно, что отклонению регулируемого параметра пропор­ционально не значение выходной величины, а ее скорость. Поэтому одно и то же значение регулируемого параметра может быть достиг­нуто при различных значениях выходной величины регулятора. Вследствие отсутствия пропорциональной зависимости между вход­ной и выходной величинами регулятора И-регуляторы часто называют астатическими.

При отклонении текущего значения регулируемого параметра от заданного выходная величина И-регулятора будет изменяться до тех пор, пока это отклонение не будет равно нулю, так как регулирование осуществляется без статической ошибки. Это существенное преиму­щество.

Недостатки И-регуляторов обусловлены их динамическими свой­ствами. Они могут работать только на объектах с большим самовы­равниванием и малым запаздыванием. По этой причине такие регу­ляторы как самостоятельные устройства практически не применяются и конструктивно объединяются с П-регуляторами.

Пропорционально-интегральными (ПИ) называют регуляторы, у которых выходная величина пропорциональна откло­нению регулируемого параметра и интегралу от этого отклонения:

Б таком регуляторе коэффициент усиления К и постоянная време­ни Ти являются параметрами его настройки.

В динамическом отношении ПИ-регуляторы эквивалентны усили­тельному и интегральному звеньям, соединенным параллельно.

Передаточная функция ПИ-регулятора

Временная характеристика ПИ-регулятора при скачкообразном отклонении регулируемого параметра Xвх=Ao показана на рис. 13.1,в. В таких регуляторах сочетаются лучшие свойства П- и И-регулято­ров. При скачкообразном отклонении текущего значения регулируе­мого параметра от заданного ПИ-регулятор сначала под действием пропорциональной составляющей практически мгновенно приводит систему к новому состоянию равновесия, соответствующему этому отклонению, а затем под действием интегральной составляющей лик­видирует это отклонение.

Постоянная времени Ти определяет изменение выходной величины под действием интегральной составляющей и численно равна време­ни удвоения, т. е. времени, в течение которого изменение выходной величины, определяемое пропорциональной составляющей КАо, удваивается под действием интегральной составляющей (см. рис. 13.1,в).

В реальных конструкциях ПИ-регуляторов используется сочетание жесткой отрицательной и гибкой положительной обратных связей, ко­торое называется изодромной обратной связью. Поэтому ПИ-ре-гуляторы часто называют изодромными, а их настроечный параметр Ти — временем изодрома.

При увеличении параметра настройки Ти регулятор по закону ре­гулирования будет приближаться к П-регулятору. Если при настрой­ке регулятора установить очень малые значения К и Ти, но так, что­бы их отношение К/Ти имело существенное значение, то получим И-регулятор. Характеристика реальных ПИ-регуляторов показана на рис. 13.1,в пунктиром.

Пропорционально-дифференциальными (ПД) на­зывают регуляторы, у которых выходная величина пропорциональна отклонению регулируемого параметра и скорости этого отклонения:

Коэффициент усиления К и постоянная времени Тд в этом выра­жении являются параметрами настройки регулятора.

В динамическом отношении ПД-регуляторы эквивалентны усили­тельному и идеальному дифференцирующему звеньям, соединенным параллельно.

Передаточная функция ПД-регулятора

Временная характеристика ПД-регулятора при скачкообразном отклонении регулируемого параметра Хвх==Ао показана на рис. 13.1,г.

Выходная величина такого регулятора под действием дифферен­циальной составляющей мгновенно возрастает до бесконечно большой величины и также мгновенно падает до значения, определяемого пропорциональной составляющей. Естественно, что в реальных регу­ляторах невозможны мгновенные процессы и характеристика имеет вид, показанный на рис. 13(1,г пунктиром.

Сочетание в ПД-регуляторе пропорционального воздействия и воз­действия по производной делает его менее инерционным по сравне­нию с П-регулятором. Объясняется это тем, что в момент возникнове­ния отклонения скорость этого отклонения проявляется более значи­тельно, чем само отклонение.

Использование в ПД-регуляторе воздействия по производной (ско­рости) отклонения означает введение в закон регулирования предва­ряющего воздействия, поэтому ПД-регуляторы называют пропорцио­нальными регуляторами с предварением, а величину Тд— временем предварения.

Опережение выходного сигнала в ПД-регуляторе по сравнению с П-регулятором имеет существенное положительное значение при регулировании параметров в объектах, обладающих большим запаз­дыванием.

Недостаток ПД-регулятора—наличие, как и у П-регулятора, остаточной ошибки регулирования.

Пропорционально-интегрально-дифференциаль­ными (ПИД) называют регуляторы, у которых выходная величина пропорциональна отклонению регулируемого параметра, интегралу от этого отклонения и скорости этого отклонения:

Параметрами настройки регулятора являются коэффициент усиле­ния К, время изодрома Ти и время предварения Тд.

В динамическом отношении ПИД-регуляторы эквивалентны уси­лительному, интегрирующему и идеальному дифференцирующему звеньям, соединенным параллельно.

Передаточная функция ПИД-регулятора

Временная характеристика ПИД-регулятора при скачкообраз­ном отклонении регулируемого параметра Хвх=Ао показана на рис. 13.1Д Пунктиром показана характеристика реальных ПИД-ре-гуляторов.

С помощью ПИД-регулятора можно осуществить любой закон ре­гулирования.

При Тд==0 и бесконечно большом значении Ти получим П-регуля-тор. При Т=0, устанавливая достаточно малые значения К. и Ти, но так, чтобы отношение К/Ти было существенным, получим И-регулятор. При Т==0 и конечных значениях К и Ти будем иметь ПИ-регулятор, а при бесконечно большом значении Ти и конечных значениях К. и Тд — ПД-регулятор.