§ 2. Способы соединения звеньев

Как уже было сказано, свойства элементов и систем автоматического регулирования в динамике описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому, если известны дифференциальные уравнения отдельных элементов, то, получив дифференциальное уравнение всей системы в целом и решение этого уравнения, можно исследовать динамические свойства системы.

Операция составления дифференциального уравнения системы может быть существенно облегчена, если реально существующие элементы системы заменить типовыми динамическими звеньями или их сочетаниями.

Схема системы автоматического регулирования, в которой реаль­но существующие элементы заменены типовыми динамическими звеньями, называется структурной схемой.

Для получения дифференциального уравнения системы необходи­мо составить ее структурную схему, найти передаточную функцию и затем от передаточной функции системы перейти к дифференци­альному уравнению.

При этом необходимо учитывать правила вычисления передаточ­ной функции соединения звеньев.

1. Система автоматического регулирования Представлена струк­турной схемой в виде трех последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями W₁(p), W₂(p), W₃(p) (рис. 12.7,а). При таком включении выходная величина предыдущего элемента явля­ется входной величиной для последующего элемента.

Так как

3. Система автоматического регулирования состоит из двух по­следовательно соединенных звеньев, которые охвачены отрицатель­ной обратной связью (рис. 12.7,в). В практике расчета CAP линию обратной связи называют часто цепью обратной связи, а основную линию, связывающую входную и выходную величины, — прямой цепью.

Обозначим передаточную функцию элементов, расположенных в прямой цепи, через W′(p).

Тогда

4. Система автоматического регулирования состоит из двух по­следовательно соединенных звеньев в прямой цепи, охваченных отрицательной обратной связью, в которой установлено звено с пере­даточной функцией Woc(p) (рис. 12.7,г).

Передаточная функция элементов в прямой цепи

§3 Понятия устойчивости системы

Как уже указывалось, основная задача системы автоматическо­го регулирования заключается в поддержании регулируемого пара­метра в пределах допуска на отклонение от заданного значения. Этому препятствует неизбежное во всякой системе наличие возму­щающих воздействий, вызывающих отклонение текущего значения регулируемого параметра от заданного. Автоматический регулятор стремится устранить это отклонение. В результате воздействия на систему возмущений и регулятора в ней возникает переходный про­цесс, который для исследуемых линейных систем описывается урав­нением вида

Решение этого уравнения Хвых(t)—зависимость изменения выход­ной величины (регулируемого параметра) под действием возмущения (Хвх) — может быть представлено как сумма двух составляющих:

Первая составляющая Хвых_с (t) характеризует свободное движе­ние системы и определяется свойствами системы и начальными усло­виями. Вторая составляющая Хвых_в (t) характеризует вынужден­ное движение системы и определяется свойствами системы и воз­мущающим воздействием.

Одной из основных динамических характеристик систем регули­рования является ее устойчивость. Под устойчивостью пони­мается свойство системы возвращаться к состоянию, равновесия после устранения возмущения, нарушившего указанное равновесие. Таким образом, устойчивость или неустойчивость систе­мы определяется характером ее свободного движения после снятия возмущения.

Свободное движение системы описывается однородным диф­ференциальным уравнением (без правой части):

(12,75)

Рассматривая решение этого уравнения Хвых(t) = Хвых_с (t) как отклонение регулируемого параметра от заданного значения во вре­мени, естественно потребовать, чтобы в устойчивой системе -го отклонение с течением времени стремилось к нулю:

Проанализируем возможные случаи решения уравнения (12.75) Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (12.75) будет иметь вид:

где р₁, p₂, ..., р_n— корни этого уравнения.

Предположим, что все корни уравнения (12.77) вещественные и различные. Тогда решение дифференциального уравнения (12.75) будет иметь вид

где А_i—постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями; р_i—корни характеристического уравнения.

Если все корни р_i характеристического уравнения будут отрица­тельными, то каждая составляющая в выражении (12.78) при t, стремящемся к бесконечности, будет стремиться к нулю (рис. 12.9,а).

Если среди корней характеристического уравнения будет хотя бы один вещественный положительный корень, то соответствующая составляющая в выражении (12.78) при t, стремящемся к бесконеч­ности, будет неограниченно возрастать. Следовательно, и все выра­жение (12.78) будет стремиться к бесконечности (рис. 12.9,б).

При наличии пары комплексных корней характеристического уравнения (12.77) р_i=-σ_i+jω_i, в правую часть выражения (12.78) будет входить составляющая

где А_i—начальная амплитуда; φ_i—начальная фаза.

Если вещественная часть этих корней будет отрицательной, то при t, стремящемся к бесконечности, эта составляющая будет убы­вать по закону затухающих гармонических колебаний (рис. 12.9,в), Следовательно, и все выражение (12.78) будет стремиться к нулю.

Если вещественная часть этих корней будет положительной, то при t, стремящемся к бесконечности, эта составляющая будет воз­растать (рис. 12,9,г). Следовательно, и все выражение (12.78) будет стремиться к бесконечности.

Если среди корней характеристического уравнения (12.77) будет хотя бы одна пара комплексных корней с вещественной частью, равной нулю (мнимые корни), то в выражении (12.78) появится составляющая вида

Следовательно, переходный процесс будет иметь характер неза­тухающих колебаний (рис. 12.9,д).

Из рис. 12.9 следует, что условие (12.76) удовлетворяется только в том случае, если корни характеристического уравнения (12.77) имеют отрицательные вещественные части.

Таким образом, требование устойчивости системы автоматиче­ского регулирования сводится к условию отрицательности веще­ственных корней характеристического уравнения, а анализ системы автоматического регулирования на устойчивость—к определению знака этих корней.