- •В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
- •9 Електромагнітні хвилі 116
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 1
- •2 Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •2.1 Випадок сухого тертя
- •2.2 Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4 Негативна дисипація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 2
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора
- •3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 3
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 4
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне збурення
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 5
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 6
- •7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 7
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 8
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 9
- •Список літератури
- •Коливання та хвилі в динамічних системах
Контрольні запитання і завдання до розділу 4
1. Які системи називаються парціальними системами?
2. Наведіть приклади неоднозначного вибору парціальних систем для даної складної системи.
3. Розв'яжіть рівняння (4.8) для власних частот системи і побудуйте графік (так званий графік Вина) їх зміни від співвідношення парціальних частот. Обговоріть результати.
4. Поясніть принцип роботи динамічних гасителів.
5. Отримайте квадратичні форми кінетичної і потенційної енергій для систем з двома ступенями свободи.
5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
5.1 Загальні поняття
До цих пір ми розглядали коливальні системи, на які діяли відновлюючі сили, які залежать від узагальнених координат , дисипативні сили, які залежать від узагальнених швидкостей і змушувальні сили, що є заданими функціями часу .
Однак існують сили і більш складної природи, які залежать від ,
.
Таким чином, виділити складові, які залежать тільки від координат і тільки від часу неможливо.
Так, наприклад, у випадку найпростішої лінійної системи рівняння руху можна представити у вигляді
(5.1)
де параметр “ ” залежить від часу; воно і описує параметричні коливання. Обмежимося лише нагодою періодичної «модуляції» параметра, тобто .
Відразу відзначимо, що в залежності від параметрів системи амплітуди параметричних коливань залишаються обмеженими або зростають з часом. Це явище називається параметричним резонансом. Параметричний резонанс має місце при виконанні певних співвідношень між частотою зміни параметра і частотою збуджених коливань, близькою або частотою, що збігається з власною частотою системи, а також при виконанні умов, що стосуються глибини модуляцій параметра.
Н
Рисунок 5.1– Маятник з точкою підвісу, яка коливається
або
(5.2)
відноситься до типу параметричних (5.1).
Рисунок 5.2 – Контур зі змінною ємністю
Рисунок 5.3 – Кусково-постійна залежність ємності від часу
Рисунок 5.4 – Синусоїдальна залежність ємності
В електричному контурі (рис. 5.2) зі змінною ємністю за рахунок якогось зовнішнього пристрою з періодичним кусочно-постійним (рис. 5.3) або синусоїдальним (рис. 5.4) законом можливі при певних умовах як стійкі так і наростаючі коливання.
5.2 Коливання при відсутності тертя
Розглянемо випадок параметричного збудження за законом (рис. 5.3). Рівняння (5.1) можна переписати у вигляді
, (5.3)
де . Так як протягом напівперіоду рівняння (5.3) має постійні координати, то можна скористатися способом "зшивання" розв’язків.
Таким чином, диференціальні рівняння за час і мають відповідно вигляд:
, (5.4)
і
. (5.5)
Рівняння (5.4) і (5.5) мають розв’язки:
(5.6)
де , . Для визначення постійних , , , сформулюємо початкові умови. Дві умови очевидні: при вимоги зшивання запишуться у вигляді
, . (5.7)
Дві інших рівності:
, (5.8)
показують, що при закінченні періоду узагальнена координата й узагальнена швидкість змінилися в раз. Величина поки невідома.
Якщо , то коливання в кожному наступному періоді посилюються, а при – загасають. Таким чином стійкість системи визначається модулем . Підставляючи (5.6) в (5.7) і (5.8), отримуємо однорідну систему алгебраїчних рівнянь, нетривіальний розв’язок якої вимагає виконання умови
, (5.9)
де
. (5.10)
Тут є відношення середнього значення власної частоти системи до частоти пульсацій. Запишемо корені (5.10)
, . (5.11)
Щоб , були дійсними потрібне виконання умови або
, (5.12)
тобто , або . А значить в обох випадках один з коренів (5.11) більше одиниці. Отже, умова (5.12) являється умовою виникнення параметричного резонансу.
Значення залежить від двох характеристик системи і , значення яких і визначають стійкість системи.
Діаграма стійкості представлена на рис 5.5 Заштриховані області відповідають стійким станам системи, незаштриховані - нестійким. З (5.10) при слід
і умова виникнення резонансу при довільних дає , звідки
. (5.13)
Рисунок 5.5 – Діаграма стійкості параметричних коливань в контурі
З (5.13) видно, що коли середнє значення власної частоти вдвічі менше ( –основне значення) частоти модуляції параметра, параметричний резонанс виникає при скільки завгодно малій глибині параметра збудження.
Розширення зони нестійкості (див. рис. 5.5) показує, що при збільшенні значення відбудуватися від параметричного резонансу важче; в цьому сенсі він більш небезпечний, ніж звичайний резонанс.
На закінчення відзначимо вплив лінійного тертя на параметричні коливання. Умова виникнення параметричного резонансу стає більш жорсткою, ніж умова (5.12) і означає необхідність певного порогового значення глибини пульсації .