- •В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
- •9 Електромагнітні хвилі 116
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 1
- •2 Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •2.1 Випадок сухого тертя
- •2.2 Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4 Негативна дисипація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 2
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора
- •3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 3
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 4
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне збурення
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 5
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 6
- •7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 7
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 8
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 9
- •Список літератури
- •Коливання та хвилі в динамічних системах
1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
Розглянемо коливальний контур (рис.1.8), в якому немає лінійної залежності напруги на ємності від заряду. Такими властивостями володіють конденсатори з сегнетоелектриками. Згідно закона Кирхгофа
Рисунок 1.8 – Електричний контур
де – напруга на обкладинках конденсатора, – струм в системі. Тоді для зміни заряду маємо рівняння
(1.21)
Задамося залежністю вольт-кулоновської характеристики (рис.1.9) конденсаторів з сегнетоелектриками, що часто зустрічається у формі кубічної параболи виду
(1.22)
Рисунок 1.9 – Вольт-кулонівська характеристика конденсатора з сегнетоелектриками
де – ємність конденсатора при , – коефіцієнт нелінійності.
Рівняння (1.21) приймає вигляд:
(1.23)
де . Це рівняння відноситься до вже розглянутого раніше неліній-ного рівняння типу (1.7), тому його наближений розв’язок можна записати відразу
(1.24)
де
(1.25)
У цьому випадку ми так само зустрічаємося з неізохронністю коливань і явищем ангармонізму. Графік (рис.1.7) залежності частоти від амплітуди відповідає верхній кривій. Звернемо увагу на ту обставину, що при . Цей результат свідчить про недостатність використання тільки першого наближення методу. Більше того, якщо навіть вважати апроксимацію точною, то при великих амплітудах коливань перше наближення (1.24) і залежність (1.25) стають непридатними. У цьому також виявляється обмеженість методу послідовних наближень.
Метод ізоклин. Фазовий портрет можна побудувати й іншим методом - методом ізоклин. Ізоклинами на фазовій площині називаються лінії, на яких нахил фазових траєкторій однаковий. Продемонструємо побудову фазового портрету методом ізоклин на прикладі нелінійного контуру.
Введемо безрозмірний заряд , безрозмірний час , а також позначення Тоді рівняння (1.23) в фазових змінних прийме вигляд
(1.26)
Рівняння сімейства ізоклин запишуться у вигляді: , де – довільні числа, або
(1.27)
Рисунок 1.10 – Фазовий портрет контуру з нелінійною ємністю
Бачимо, що ізоклинами є кубічні параболи з різними коефіцієнтами . Виняток становлять дві ізоклини: нульова збігається з віссю координат і ізоклина нескінченності збігається з віссю координат Ізоклини і фазовий портрет зображені на
рис. 1.10.
1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
З електричними системами такого типу (рис. 1.11) зустрічаємося тоді, коли в індуктивності використовуються сердечники з феромагнітного матеріалу. Крива намагнічення для феромагнетика представлена на рис. 1.12.
Рисунок 1.11 – Контур з феромагнітним сердечником
Рисунок 1.12 – Крива залежності магнітного потоку від струму в котушці
де – магнітний потік, – струм, що тече в котушці, – напруженість магнітного поля.
Користуючись рівнянням Кірхгофа
де – число витків котушки, які пронизує магнітний потік , його можна написати у вигляді
(1.28)
У фазових змінних рівняння (1.28) прийме вигляд
(1.29)
де – постійна інтегрування.
Приймаючи залежність магнітного потоку від струму , наприклад, за Дрейфуса
де – відповідні константи, можна знайти рівняння фазових траєкторій
. (1.30)
Фазовий портрет представлений на рис. 1.13, причому для малих і криві близькі до еліпсу.
Для обмеженого інтервалу значень струму коли величина струму не заходить далеко в область насичення, залежність можна апроксимувати функцією
(1.31)
де - коефіцієнт самоіндукції,
Рисунок 1.3 – Фазовий портрет контуру при залежності магнітного потоку за Дрейфуса
Рівняння фазових траєкторій тепер стане виду
яке є рівнянням сімейства кривих, близьких до еліпсу (особливо при малих ).
При прийнятої апроксимації (1.31) рівняння (1.28) запишеться наступним чином
. (1.32)
Метод послідовних наближень по при вирішенні рівняння (1.32) з тими ж початковими умовами і, обмежуючись лише першим наближенням, дає повний розв’язок виду
(1.33)
Таким чином, тут отримуємо якісно ті ж особливості руху, що і в роз-глянутих раніше випадках. Різниця полягає лише в співвідношеннях між амплітудами кратних гармонійних компонент, причому частота розв’язок збільшується з ростом амплітуди.
На закінчення відзначимо, що, якщо криву намагнічення представити у вигляді залежності і прийняти у вигляді
,
то рівняння вільних коливань в контурі з нелінійною індуктивністю запишеться так:
Сімейство фазових траєкторій і сімейство ізоклин якісно співпадуть з фазовим портретом (рис. 1.10) вільних коливань заряду в контурі з нелінійним конденсатором.