- •В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
- •9 Електромагнітні хвилі 116
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 1
- •2 Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •2.1 Випадок сухого тертя
- •2.2 Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4 Негативна дисипація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 2
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора
- •3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 3
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 4
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне збурення
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 5
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 6
- •7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 7
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 8
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 9
- •Список літератури
- •Коливання та хвилі в динамічних системах
1.3 Метод фазової площини
Опис руху системи у вигляді залежності узагальненої координати від часу не є єдиним. Стан системи в будь-який момент часу визначається двома значеннями: координати і швидкості ; воно може бути представлено у плоскій декартовій системі координат точкою. Таку точку називають зображуючою точкою, а площину – фазовою площиною.
При русі системи величини і змінюються, а отже, зображуюча точка буде змінювати своє положення на фазовій площині. Геометричне місце зображуючих точок для заданого руху називається фазовою траєкторією. Сукупність усіх можливих фазових траєкторій системи називають її фазовим портретом.
Звернемося до рівняння (1.3). Враховуючи, що , і або , його можна переписати в фазових змінних
Хоча порядок рівняння знижений на одиницю, але воно стало нелінійним. В даному випадку рівняння легко інтегрується поділом змінних і рівняння фазових траєкторій має вигляд
(1.5)
які є рівняннями еліпсів. Постійна визначається початковими умовами: . Початкові значення цих величин характеризують вихідні положення зображуючої точки.
Таким чином, вся фазова площина заповнена вкладеними один в одного еліпсів з центром в початку координат (рис. 1.4). Напрями руху зображуючих точок показані на рисунку стрілками: позитивна швидкість відповідає збільшенню координати, негативна - зменшенню.
Взагалі, структура фазових траєкторій дає тільки якісні особливості можливих рухів системи, але показує ряд найбільш характерних її властивостей.
Рисунок 1.4 – Фазовий портрет лінійного осцилятора
У якісної теорії диференціальних рівнянь встановлюється, що через кожну точку фазової площини проходить одна і лише одна фазова траєкторія, за винятком тих точок, в яких похідна не визначена. Так в даному випадку в стані рівноваги (узагальнена швидкість дорівнює нулю) маятника похідна
(1.6)
не визначена. Такі точки називаються особливими точками; через таку точку проходить або більше ніж одна фазова траєкторія, або не проходить жодної. На фазовому портреті (рис. 1.4) видно, що через початок координат не проходить жодна з фазових траєкторій; точки називають особливими точками типу «центр». З (1.6) також витікає, що дотична до фазової траєкторії в точках перетину траєкторії з віссю перпендикулярна цієї осі.
Якщо в рівнянні (1.3) замінити на , що відповідає випадку «негативної жорсткості», то рівняння фазових траєкторій прийме вигляд:
Фазові траєкторії складаються з сімейства гіпербол (рис. 1.5) і чотирьох півпрямих , які є асимптотами цих гіпербол. Зображуючі точки на будь-якій траєкторії монотонно віддаляються від свого початкового положення, яке характеризує обурення стану рівноваги. Винятки становлять зображуючі точки на прямій . Система буде прагнути до стану рівноваги, але воно виявиться нестійким: будь-яке як завгодно мале порушення умови призведе до необмеженого видаленню від стану рівноваги. Особлива точка (0, 0) називається точкою сідлової або сідлом.
Рисунок 1.5 – Фазовий портрет лінійного осцилятора:
Реальною механічною системою з «негативною жорсткістю» може служити перевернутий маятник (рис. 1.6), де наведений коефіцієнт жорсткості .
Рисунок 1.6 – Перевернутий маятник