- •В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
- •9 Електромагнітні хвилі 116
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 1
- •2 Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •2.1 Випадок сухого тертя
- •2.2 Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4 Негативна дисипація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 2
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора
- •3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 3
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 4
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне збурення
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 5
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 6
- •7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 7
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 8
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 9
- •Список літератури
- •Коливання та хвилі в динамічних системах
Контрольні запитання і завдання до розділу 6
1. Поясніть принципову відмінність автоколивальних систем від розглянутих раніше.
2. Що означає стійкий і нестійкий граничні цикли?
3. Чи можливе існування декількох граничніх циклів? Від чого це залежить?
4. Як впливають початкові збурення на коливання в автогенераторі Ван-дер-Поля?
7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
7.1 Загальні зауваження
Кристалічна гратка твердих тіл представляє самий наочний об'єкт, який природно назвати упорядкованою структурою з осциляторів (коливальних елементів). Найпростішими прикладами моделі впорядкованої структури, в якій тотожні осцилятори пов'язані між собою не будь-яким, а певним чином, є одномірна гратка з однакових частинок, механічна система, що складається з набору маятників, ланцюжок пов'язаних електричних контурів, ряд однакових акустичних резонаторів, ланцюжок, утворений з магнітів і т. п.
Таким чином, ми переходимо до розгляду систем з N ступенями свободи, причому N може бути дуже великим і навіть «нескінченно великим» числом. Кожній ступені свободи відповідає своя власна частота і форма коливань. Часто їх називають модами коливань. Якщо вивести один елемент такої системи з положення рівноваги, то будуть зміщуватися і сусідні - по всій впорядкованій структурі побіжить «хвиля». Іншими словами, при дуже великому числі елементів у системі (у межі нескінченно великому), укладених в обмеженому обсязі, вона веде себе як безперервне середовище. Таке твердження має на увазі, що зміщення всіх елементів в околиці точки може бути описано вектором зміщення , де - безперервна функція. Ця функція замінює опис, що задає зміщення , і т.п. окремих елементів. У такому випадку говорять про поширення хвилі. Тут слід пам'ятати, що координати x, y, z відповідають рівноважному стану частинок і не залежать від часу.
Я к приклад розглянемо моди коливань струни з вантажами. Під «струною» вважаємо невагомі пружини, на яких розташовані точкові маси. Послідовність таких струн показана на рис. 7.1, що дозволяє легко зрозуміти конфігурації і частоти мод.
Рисунок 7.1 – Різні конфігурації і частоти мод коливань
7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
Розглянемо закріплену на кінцях струну з N вантажами, кожен маси M. Відстань між вантажами – , натяг «пружин» в рівновазі дорівнює (рис. 7.2). Сила натягу передбачається значною, щоб можна було знехтувати дією сили тяжіння.
Рисунок 7.2 – Упорядкована лінійна структура пов'язаних вантажів
Обмежимося розглядом тільки поперечних коливань вантажів вздовж осі Х; зміщення позначимо через .
Знайдемо рівняння руху «n» вантажу (схема конфігурації струни представлена на рис. 7.3). Враховуючи наближення малих коливань, закон Ньютона дає наступне рівняння руху:
. (7.1)
Визначимо частоти і конфігурації окремих мод. Припустимо, що ми маємо моду з частотою . Кожен вантаж здійснює гармонійні коливання з частотою і фазою , а форма моди визначається відношенням амплітуд коливань різних вантажів. Позначимо через
Рисунок 7.3 – Схема конфігурації струни в деякий момент часу
- амплітуду коливання n-го вантажу для даної моди. Тоді маємо
(7.2)
З (7.2) знаходимо
(7.3)
Підставляючи (7.3) і (7.2) в рівняння (7.1) отримуємо
або
. (7.4)
Рівняння (7.4) визначає залежність форми коливання від частоти. Спробуємо знайти розв’язок (7.4) у вигляді
, (7.5)
де .
Тоді
і, отже,
. (7.6)
Підставляємо (7.6) в (7.4), одержимо
. (7.7)
Припускаємо, що (7.7) справедливо для будь-якого вантажу n, незалежно від того чи перебуває він чи ні в вузловій точці, тобто приймаємо . Отже, щоб було розв’язок рівняння (7.4), потрібно виконання умови
,
звідки
або
. (7.8)
Вираз (7.8), що зв'язує частоту і «довжину хвилі» (див. курс математичної фізики), або хвильове число k для даної моди, називається дисперсійним співвідношенням для струни з вантажами.
На рис. 7.4 показаний графік і для струни з п'ятьма вантажами, закріпленої з обох кінців.