9 Електромагнітні хвилі 116

9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс 116

9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля 118

9.3 Плоскі хвилі 121

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 9 123

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 125

ВСТУП

Коливаннями називають обмежені рухи фізичної системи, що повторюються в околиці деякого середнього положення, наприклад, стійкого положення рівноваги. Про коливальний процес різних динамічних систем говорять у тих випадках, коли стан конкретних реальних систем замінюють ідеалізованими моделями, що відображають кінцеве число параметрів системи, що змінюються в часі. Коливальні процеси описуються звичайними диференціальними рівняннями.

Коливання, що поширюються в просторі, називають хвилями. Хвильовий процес вимагає для свого опису більш складних математичних моделей. Параметри моделі тепер залежать не тільки від часу, але і від просторових змінних. Тому хвильові процеси описуються рівняннями в приватних похідних.

Існують певні труднощі в тому, що назвати коливальним або хвильовим процесом. Критерієм переходу від одного процесу до іншого може служити умова: нехай - характерний розмір системи; за умови , де - це швидкість поширення збурення, Т - час його помітного змінювання. Процес називають коливальним з зосередженими параметрами. Якщо процес називають хвильовим, а системи - з розподіленими параметрами.

Класифікацію коливальних систем можна провести по ряду ознак: за кількістю ступенів свободи, за енергетичними ознаками (активні, пасивні системи), за характером диференціальних рівнянь (лінійні, нелінійні системи), куди відносяться параметричні і автоколивальні системи.

Звичайно ж, зазначена класифікація можлива лише при конкретному виборі моделі для реальної системи.

1 Коливання систем з одним ступенем свободи

1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи

Якщо положення системи в будь-який момент часу може бути описано єдиним параметром, то система має один ступінь свободи. Прикладами таких систем є: маятник, що коливається в заданій площині (рис.1.1), маса, пов'язана з пружиною (рис. 1.2),

Р исунок 1.1 – Математичний маятник

Р исунок 1.2 – Пружинний маятник

Р исунок 1.3 – Коливальний контур

або електричний контур (рис.1.3), де єдиний параметр (узагальнена координата ) : φ – кут відхилення, - зміщення вантажу, заряд на пластинах конденсатора (або - струм в котушці) відповідно.

Для визначеності розглянемо рух маятника. Рівняння руху його запишеться у вигляді

(1.1)

і являє собою нелінійне диференціальне рівняння. Зазвичай нелінійні диференціальні рівняння в аналітичній формі вирішуються важко. Більше того, вони не мають властивості суперпозиції.

1.2 Лінійні коливальні системи без тертя

Скористаємося в рівнянні (1.1) розкладанням в ряд Тейлора

(1.2)

Для достатньо малих можемо знехтувати в (1.2) усіма членами, за винятком . Після спрощення виразу отримаємо основне диференціальне рівняння задачі про вільні коливання:

(1.3)

де

Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

який і висловлює принцип суперпозиції коливань в лінійних системах.

Можна користуватися і іншою формою запису розв’язок:

(1.4)

яке представляє собою незгасаючі гармонійні коливання. Тут – амплітуда коливань, – початкова фаза, які знаходяться за початковими умовами. Кругова частота пов'язана з фізичними параметрами системи і не залежить від початкових умов. З цієї причини її називають власною частотою системи.