- •В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
- •9 Електромагнітні хвилі 116
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 1
- •2 Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •2.1 Випадок сухого тертя
- •2.2 Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4 Негативна дисипація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 2
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора
- •3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 3
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 4
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне збурення
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 5
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 6
- •7 Коливання у впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 7
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 8
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний сенс
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
- •Контрольні запитання і завдання до розділу 9
- •Список літератури
- •Коливання та хвилі в динамічних системах
1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
У цих випадках дослідження коливань зводиться до інтегрування нелінійного диференціального рівняння. Не обговорюючи окремих випадків аналітичних рішень, познайомимося з досить поширеним методом наближеного розрахунку, званого методом послідовних наближень.
На прикладі руху маятника в рівнянні (1.1) після розкладання (1.2) функції залишимо член з (обмежуємося значеннями ). Рівняння (1.1) запишемо у формі
(1.7)
де
Приймаючи за малий параметр, будемо шукати розв’язок у вигляді ряду за степенями :
(1.8)
Підставляючи (1.8) в (1.7), отримаємо
При є розв’язок нульового наближення, тобто рівняння
Тоді прирівнюючи до нуля суми членів розкладання при і т.п. з урахуванням попередніх рівнянь для наближень одержуємо:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Вибираючи початкові умови у вигляді запишемо розв’язок нульового наближення у вигляді Рівняння першого наближення (1.10) тепер стане:
(1.12)
Скориставшись тригонометричним перетворенням функції через кратні кути, отримуємо рівняння
(1.13)
Стандартна процедура знаходження частинного розв’язку, відповідного виду функції правої частини рівняння призводить до розв’язку
(1.14)
Очевидно, що наявність в розв’язку (1.14) секулярного члена не відповідає реальному руху системи.
Причиною даного протиріччя є обрана форма приватного рішення з періодом , тобто з періодом нульового наближення, який не залежить від амплітуди коливань (так звані ізохронні коливання). Дослідження загальних властивостей поведінки маятника за допомогою фазової площини вказує на неізохронність коливань. Відхилення періоду від повинно залежати від ступеня нелінійності системи. Тому природно ввести нову частоту коливань у вигляді розкладання по ступенях :
(1.15)
де і т.п. - деякі поки невідомі величини.
Обмежимося першим наближенням в (1.15) і позначаюи знайдемо:
Підставляючи в (1.7), одержимо рівняння
Знову відшукуючи його рішення у вигляді розкладання (1.8) для ну-
льового наближення з тими ж початковими умовами матимемо рішення у вигляді:
Рівняння першого наближення прийме вигляд:
(1.16)
або
(1.17)
Щоб у частинному розв’язку цього рівняння позбутися необмежено зростаючого члена величину виберемо з умови
тобто З (1.15) тепер отримуємо
або
Рівняння першого наближення (1.17) приймає вигляд
(1.18)
спільний розв’язок якого запишемо у вигляді
де – довільні постійні.
Таким чином, повний розв’язок рівняння (1.7) у першому наближенні запишеться у вигляді
(1.19)
Значення і знаходяться з тих же початкових умов:
Опускаючи проміжні викладки, запишемо остаточний вид розв’язку
і для маятника в першому наближенні маємо
(1.20)
З (1.20) витікає:
Коливання неізохронні.
2. Коливання не є чисто синусоїдальними, так як у розв’язку присутня третя гармоніка.
Неізохронність можна представити у вигляді графіка (рис.1.7) функції
Рисунок 1.7 – Ілюстрація неізохронності коливань
Його результати можна використовувати при змінах амплітуди до в області яких справедливо прийняте розкладання функції .