8.7 Енергія пружних хвиль

Виділимо в пружному середовищі з щільністю , де поширюється плоска хвиля виду , елементарний об'єм . Завдяки хвилі обсяг набуває швидкість .

Величина кінетичної енергії речовини в об’ємі дорівнює

. (8.12)

Потенційна енергія деформації об'єму дорівнює:

. (8.13) Враховуючи (8.12) та зв'язок , матимемо величину модуля Юнга

(8.14)

Підставляючи (8.14) в (8.13), отримаємо вираз потенційної енергії:

(8.15)

Повна енергія об'єму середовища, що приймає участь в хвильовому процесі, дорівнює

. (8.16)

Розділивши (8.16) на , одержимо об'ємну щільність енергії пружної хвилі:

Знайдемо середнє за часом значення об'ємної щільності енергії хвилі. Враховуючи що

,

одержимо:

. (8.17)

Таким чином, енергія пружної хвилі пропорційна квадрату амплітуди хвилі.

8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення

У процесі поширення хвиля переносить енергію з областей простору, залучених у цей процес, в області, де коливання ще не виникли. Процес перенесення енергії характеризують поняттями: потік енергії, вектор щільності потоку енергії, інтенсивність хвилі.

Кількість енергії, що переноситься хвилею через деяку поверхню за одиницю часу, називають потоком енергії :

, (8.18)

де – переносима енергія через дану поверхню за час .

Так як потік енергії в різних точках поверхні S може мати різну інтенсивність, то вводиться поняття щільності потоку енергії.

Вектор щільності потоку енергії визначається як

, (8.19)

де – об'ємна щільність хвилі, – швидкість поширення хвилі, – одиничний вектор у напрямку поширення хвилі.

Зв'язок між вектором і потоком встановлюється з таких міркувань: за проміжок часу хвиля поширюється на відстань ; енергія , перенесена хвилею, укладена в обсязі похилого циліндра (рис. 8.3; тут довільно орієнтована елементарна площадка) дорівнює

(8.20)

Рисунок 8.3 – Елементарний об'єм з довільно орієнтованою площею і напрямком поширення хвилі

Запишемо (8.20) у вигляді

. (8.21)

Враховуючи (8.21), потік енергії (8.18) стане рівним:

. (8.22)

Якщо , то рівність (8.22) дає зв'язок , де – модуль вектора потоку енергії; або

. (8.23)

З (8.3) випливає, що модуль вектора щільності потоку енергії дорівнює потоку енергії, яка переноситися хвилею через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку поширення хвилі.

Ще однією характеристикою хвильового процесу є інтенсивність хвилі. Інтенсивністю хвилі називають величину, рівну модулю середнього за часом вектора щільності потоку енергії:

. (8.24)

Враховуючи (8.19), можна отримати інший вираз для інтенсивності хвилі:

.

8.9 Стояча хвиля

Нехай скалярна фізична величина S змінюється за законом

,

тобто величина S у всіх точках простору здійснює гармонічні коливання з однаковою частотою і фазою, але з амплітудами різними для різних точок. Таке явище називають стоячею хвилею.

Розглянемо окремий випадок плоскої стоячої хвилі виду . Покажемо, що суперпозиція двох хвиль однакової частоти і амплітуди, що біжать в протилежних напрямках, утворює стоячу хвилю.

Нехай і . Тоді перетвориться до виду

. (8.25)

Вираз (8.25) є рівняння стоячої хвилі. Змінюючи початок відліку координати і моменту часу рівняння (8.25) можна привести до стандартного виду:

. (8.26)

З (8.26) видно, що амплітуда результуючої стоячої хвилі для заданих в два рази більше амплітуд кожної бігучої хвилі. Максимальні значення амплітуди знаходяться з умови: . Тоді положення точок простору, де виконується ця умова, визначається рівністю:

(8.27)

де – довжина хвилі.

Такі точки називають пучностями стоячої хвилі. Точки простору, в яких коливання величини відсутні, називають вузлами стоячої хвилі. Їх положення визначаються координатами

(8.28)

Як витікає з (8.27) та (8.28), геометричні міста пучностей та вузлів системи відповідно розташовані один від одного на відстанях в півдовжини хвилі.