5.3 Параметричне гармонійне збурення

Диференціальне рівняння, відповідне цьому випадку (рис. 5.4) запишеться у вигляді

, (5.14)

де - середнє значення власної частоти системи, – глибина пульсації параметра. Диференціальні рівняння подібного типу називаються рівняннями Матьє. Ними описуються робота параметричного генератора, одноконтурні параметричні підсилювачі та перетворювачі і т.п. Розв’язками рівняння Матьє є спеціальні функції Матьє, або ж застосовується для їх вирішення наближений метод повільно мінливих амплітуд.

Перепишемо рівняння (5.14) у вигляді

, (5.15)

в якому , , . Розв’язки рівняння (5.15) можуть бути обмеженими, а також необмежено зростати. Діаграма стійкості в осях “ ” схожа з діаграмою стійкості п. 5.2 (рис. 5.5).

Контрольні запитання і завдання до розділу 5

1. Наведіть приклади параметричних систем і поясніть особливості їх рухів.

2. Отримайте частинні розв’язки диференціальних рівнянь (5.3) в задачі параметричних коливань.

3. Які основні умови досягнення параметричного резонансу?

4. Чому відбудуватися від параметричного резонансу важче, ніж від звичайного?

6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи

6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем

Коливальні системи, в яких втрати за період коливання поповнюються за рахунок внутрішнього джерела енергії звуться автоколивальними. Особливості автоколивань у таких системах залежать від початкових умов і визначаються особливостями характеристик самих систем.

Автоколивальні системи принципово нелінійні і неконсервативні. Ці властивості призводять до існування в системах стаціонарних за формою і величиною коливань. У поданні на фазовій площині це означає наявність граничних циклів, тобто асимптотичних замкнутих траєкторій.

Зазначимо, що для отримання автоколивань в системі необхідно, щоб функція дисипації була знакозмінною, для чого можна використовувати різні по фізичній природі нелінійні елементи («негативне тертя» в механічних системах, негативний опір, який характеризує «падаючі» ділянки на вольт-амперних характеристиках діодів, газорозрядні діоди та ін).

Автоколивальні системи, в яких властивості поповнення енергії слабо впливають на форму коливань, називають автоколивальними системами осциляторного типу. Якщо ж система являє собою систему типу «аперіодичний» контур, то форма коливань залежить від властивостей ланцюга поповнення енергії і системи прийнято називати релаксаційними.

Автоколивальні системи з малим загасанням і малим вкладенням енергії за період коливань у порівнянні з запасом коливальної енергії системи називають автоколивальними системами томсонівського типу.

Простішою системою такого типу є звичайний годинник з маятником, або балансом як накопичувач енергії. Фазова траєкторія сталих автоколивань у ідеалізованої моделі годинника представлена на рис. 6.1, де – збільшення швидкості в результаті одного поштовху, а амплітуда коливань дорівнює

;

– коефіцієнт звичайного рівняння затухаючих коливань маятника.

Р

исунок 6.1 – Фазова траєкторія автоколивань моделі годинника

Класичним прикладом автоколивальної системи є автогенератор Ван-дер-Поля. Диференціальне рівняння Ван-дер-Поля має вигляд

, (6.1)

де - постійна.