§ 3.11. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность произвольной формы

Рассмотрим криволинейную поверхность произвольной формы, отделяющую капельную жидкость от газа, например, часть поверхности стенки сосуда (рис. 3.15).

На каждую из элементарных площадок d_n криволинейной поверхности действует элементарная сила, направленная по нормали к площадке и равная dF. В общем случае все эти элементарные силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Такая система, как известно из теоретической механики, приводится к одной силе , называемой главным вектором, и к одной паре сил, момент которой называется главным моментом.

Рис. 3.15

Здесь - радиус-вектор площадки относительно центра моментов;

 - знак векторного произведения.

В частных случаях эта система приводится к одной силе, называемой равнодействующей.

В дальнейшем определим лишь величину главного вектора сил давления. Как известно, для определения главного вектора по величине и по направлению достаточно вычислить три его проекции на оси координат. Тогда величина его будет

,

а направление определяется соотношениями

; ; .

Рассмотрим сначала определение проекций вектора силы давления на горизонтальные оси. Определим . Давление на элементарную площадку d_n на основании формулы гидростатического давления . Напомним, что величина этого давления не зависит от направления площадки по 2-му свойству гидростатического давления. Элементарная сила определяется по формуле

.

Ее проекция на ось x

.

Учитывая, что , получим

.

Интегрируя, находим

.

Очевидно, . Второй интеграл равен статическому моменту площади _x относительно оси 0y или

,

где - глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности. Отсюда получим

.

Аналогично для другой горизонтальной проекции будем иметь

,

где относится к _y.

Таким образом, горизонтальная проекция вектора силы давления равна произведению площади вертикальной проекции данной поверхности на величину гидростатического давления на глубине погружения центра тяжести этой проекции.

Для определения вертикальной проекции F_z аналогично составим интеграл

или

,

где - горизонтальная проекция .

Последнее соотношение перепишем в виде

.

Первый интеграл равен .

Второй интеграл

есть объем воды, заключенный между криволинейной поверхностью и ее проекцией на свободную поверхность - плоскость y0x . Этот объем называют объемом тела давления.

Тогда интеграл

равен весу тела давления. Отсюда

.

Таким образом, вертикальная проекция равна сумме произведения начального давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности _z и веса тела давления.

Нахождение горизонтальных проекций не составляет труда. Определение вертикальной проекции связано с нахождением объема или веса тела давления, на чем мы остановимся несколько подробнее.