§ 6.2. Равномерное движение жидкости
Равномерным потоком жидкости называется
такой поток, в котором все частицы
движутся равномерно и прямолинейно. В
таком потоке все живые сечения будут
плоскими и распределения скоростей по
сечениям одинаковыми, т.е.
(рис.6.4).
В равномерном потоке
,
,
,
.
Рис. 6.4
Так как равномерное движение есть предельный случай плавноизменяющегося, то ясно, что давление в живых сечениях потока при равномерном движении будет меняться по гидростатическому закону, т.е.
.
Удельная кинетическая энергия при равномерном движении
,
так как
и
,
т.е. удельная кинетическая энергия во
всех живых сечениях потока одинакова.
Следовательно, вдоль равномерного
потока уменьшается лишь потенциальная
энергия, расходуемая на потери.
Так как все частицы жидкости в данном сечении обладают одинаковыми запасами удельной потенциальной энергии, то потеря энергии на любой линии тока между двумя сечениями одна и та же. Отсюда следует важный вывод, что в равномерном потоке гидравлический уклон
,
т.е. не зависит от расположения частицы от оси потока.
§ 6.3. Основное уравнение равномерного потока. Уравнение динамического равновесия равномерного потока
Проведем исследование равномерного потока с целью вывода основных уравнений, характеризующих его. При равномерном движении средние скорости во всех поперечных сечениях одинаковы, местные сопротивления отсутствуют и существуют лишь сопротивления трения, проявляющиеся по длине трубопровода и вызывающие соответствующие потери напора.
Выведем сначала уравнение динамического равновесия. Для этого рассмотрим равномерный поток жидкости в цилиндрической трубе (рис.6.5.).
Выделим в потоке отсек длиной l с площадью поперечного сечения . Контур, ограничивающий площадку , обозначим через (хи). обычно называют смоченным периметром. Контур выберем концентрично по отношению к стенкам трубы.
На выделенный отсек действуют следующие силы.
1. Сила тяжести
G = γωl.
2. Силы гидродинамического давления
;
,
где p1 и p2- давления в соответствующих сечениях жидкости. (Поскольку в равномерном потоке гидромеханические давления распределяются в сечении по линейному закону, то в этих формулах под p1 и p2 cледует понимать давления, действующие в центре тяжести площадок 1 и 2 ).
Рис.6.5
3. Силы трения
,
где (l)
- боковая поверхность выделенного
отсека.
Составим уравнение движения на направление l. Так как силы инерции в равномерном потоке отсутствуют, то получим
F1 – F2 – T + G sinβ = 0
или
.
Так как
,то
.
Поделив обе части уравнения на
и и учитывая, что
,
находим
.
Обозначив
,
где R - гидравлический
радиус, будем иметь
.
(6.1)
Соотношение (6.1) представляет уравнение динамического равновесия равномерного потока.
Выведем уравнение энергии равномерного потока. Уравнение Бернулли для потока имеет вид
.
В равномерном потоке 1
= 2 и
и, следовательно,
.
Тогда
.
(6.2)
Объединяя (6.1) и (6.2), получим общее выражение для потери напора по длине потока
.
Последнее уравнение называют основным уравнением равномерного потока. Этому уравнению можно придать несколько иной вид
.
Отсюда
или
,
где J - гидравлический уклон потока. Последние два соотношения также представляют основное уравнение равномерного потока.
Для касательного напряжения на стенке это уравнение принимает вид
или
.
Уравнение равномерного потока показывает, что напряжение силы трения, отнесенное к удельному весу жидкости, равно произведению гидравлического радиуса на гидравлический уклон.