§ 6.11. Осреднение скоростей
За осредненную скорость
в данной точке принимается такая
постоянная за период осреднения T
скорость, при которой через элементарную
площадку d за
период T проходит
объем жидкости, равный истинному ее
объему, проходящему через d
за время T, т.е.
.
Отсюда
.
Аналогично
;
.
Осредненную во времени скорость
следует отличать от средней скорости
по сечению
.
Записанным выше интегралам легко дать
геометрическую интерпретацию.
Действительно,
равен площади, лежащей под кривой
действительной скорости на участке
времени длиной T в
координатах xT.
А это значит, что сумма площадок на
графике
,
выражающая отклонения истинной скорости
от средней, равняется нулю.
§ 6.12. Осреднение напряжений
За осредненное напряжение
в данной точке принимается следующая
величина
,
где T - время осреднения.
Аналогично для касательного напряжения
.
Если произведено осреднение скорости, то действительную (истинную) скорость в данной точке можно представить как сумму средней скорости и величины отклонения скорости от средней в данный момент, т.е.
;
;
.
Величины
получили названия пульсационных
скоростей. Очевидно,
,
т.е. пульсационной скоростью называется
разность между истинной скоростью в
точке в данный момент и осредненной
скоростью в этой же точке.
Пульсационные добавки напряжений будут определяться аналогичным образом
;
.
Заметим, что величина осредненной пульсационной добавки всегда равна нулю
;
;
,
что наглядно видно из графика пульсаций (см. рис.6.12).
Если измерять в некоторой точке скорости и давления жидкости, то при измерении обычными грубыми средствами - пьезометром, трубкой полного напора и т.п. практически не будут отмечаться пульсации. Скорости и давления нам будут представляться постоянными во времени .
По существу, будут измеряться осредненные
во времени величины
и
.
Кроме того, очевидно, что осредненное
турбулентное движение в данном случае
можно рассматривать как установившееся.
Рейнольдс предложил рассматривать не действительное движение жидкости, а осредненно-идеализированное. Этот осредненный поток в лучшей мере отвечает нашим опытным данным, относящимся, по существу, лишь к средним во времени величинам. Но тогда, как показал Рейнольдс, и дифференциальные уравнения должны содержать в качестве неизвестных не истинные переменные, а осредненные. В частности, Рейнольдс произвел осреднение уравнений Навье-Стокса, т.е. ввел вместо актуальных величин скоростей и давлений их осредненные значения.
При таком осреднении в уравнениях
движения жидкости появляется 9 новых
неизвестных членов типа
.
То есть появляются какие-то новые силы (так как каждый член уравнения выражает силу).
Идеализация движения жидкости привела
к идеализации и силовых соотношений.
При этом замкнутая система уравнений
Навье-Стокса оказалась разомкнутой.
Появилась необходимость связать
каким-то образом пульсации
и
c
осредненными величинами
и
и т.п. Эта связь может быть получена
лишь на основании новых гипотез о
механизме движения жидкости.
Так появились гипотезы турбулентности Маккавеева, Прандтля, Кармана, Тейлора, Фридмана и др. Но ни одна из этих гипотез ( за исключением гипотезы Фридмана) не в состоянии замкнуть систему уравнений. Они лишь сводят задачу к отысканию опытным путем каких-либо новых функций l, и т.п., взамен пульсаций и . Эти функции могут быть легче определены из опыта, чем пульсации.
Подобные теории турбулентности названы полуэмпирическими, так как часть величин в них находится из опыта. Гипотеза же Фридмана, хотя и замыкает систему уравнений, но сводит ее к системе из 20-ти дифференциальных уравнений в частных производных весьма сложного вида. Поэтому практически эта гипотеза использована быть не может.
Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи осредненных потоков и лишь наиболее распространенную полуэмпирическую теорию турбулентности Прандтля (см. § 6.15).