- •В.А.Кудинов, э.М.Карташов гидрАвЛика
- •Глава 1 введение
- •§ 1.1. Краткий исторический обзор развития гидравлики
- •§ 1.2. Определение науки «Гидромеханика»
- •§ 1.3. Реальные и идеальные жидкости
- •§ 1.4. Размерности физических величин, применяемых в гидРомеханИке
- •Глава 2 свойства жидкостей
- •§ 2.1. Основные физико-механические свойства жидкости
- •§ 2.2. Вязкость. Закон ньютона для внутреннего трения в жидкости
- •§ 2.3. Зависимость вязкости от температуры и давления. Вискозиметры
- •Глава 3 гидростатика
- •§ 3.1. Силы, действующие в жидкости
- •§ 3.2. Гидростатическое давление и его свойства
- •§ 3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •§ 3.4. Потенциал массовых сил
- •§ 3.5. Интеграл уравнений эйлера для несжимаемой жидкости
- •§ 3.6. Уравнение поверхности равного давления
- •§ 3.7. Основное уравнение гидростатики
- •§ 3.8. Методы и приборы для измерения давления. Абсолютное и избыточное давление. Вакуум
- •§ 3.9. Гидростатический напор и энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии
- •§ 3.10 Интегрирование уравнений эйлера для случая относительного покоя жидкости
- •§ 3.11. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность произвольной формы
- •§ 3.12. Частные случаи расчета сил, действующих на криволинейные поверхности закономерных форм
- •§ 3.13. Сила давления жидкости на плоскую стенку произвольной формы
- •§ 3.14. Гидростатический парадокс
- •§ 3.15. Центр давления и определение его координат
- •§ 3.16. Простые гидравлические машины. Гидравлический пресс
- •§ 3.17. Гидравлический аккумулятор
- •§ 3.18. Закон Архимеда
- •§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел, частично погруженных в жидкость
- •Глава 4 Гидродинамика
- •§ 4.1. Основные кинематические понятия и определения. Два метода исследования движения жидкости
- •§ 4.2. Траектории частиц и линии тока
- •§ 4.3. Установившееся движение
- •§ 4.4. Струйчатая модель движения жидкости. Трубка тока. Расход жидкости
- •§ 4.5. Средняя скорость
- •§ 4.6. Уравнение неразрывности в переменных эйлера в декартовой системе координат
- •§ 4.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости (уравнения эйлера)
- •§ 4.8. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения навье-стокса)
- •§ 4.9. Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •§ 4.10. Физический и геометрический смысл уравнения бернулли. Напор жидкости
- •§ 4.11. Уравнение бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
- •§ 4.12. Уравнение бернулли для потока реальной жидкости
- •§ 4.13. ГрафИческая иллюстрация уравнения бернулли для потока реальной жидкости
- •§ 4.14. Практическое применение уравнения бернулли
- •§ 4.15. Трубка прандтля
- •§ 4.16. Трубка вентури, сопло, диафрагма
- •Глава 5 основы теории гидродинамического подобия
- •§ 5.1. Основные понятия и определения теории подобия
- •§ 5.2. Теоремы теории подобия. Критерии подобия
- •§ 5.3. Физический смысл критериев подобия
- •§5.4. Метод анализа размерности
- •Глава 6
- •§ 6.1. Два режима движения жидкости
- •§ 6.2. Равномерное движение жидкости
- •§ 6.3. Основное уравнение равномерного потока. Уравнение динамического равновесия равномерного потока
- •§ 6.4. Ламинарное движение жидкости
- •§ 6.5. Расход жидкости
- •§ 6.6. Коэффициент линейных потерь при ламинарном движении жидкости
- •§ 6.7. Формирование изотермического ламинарного потока
- •§ 6.8. Основы гидродинамической теории смазки
- •§ 6.9. Турбулентное движение жидкости
- •§ 6.10. Турбулентное перемешивание. Пульсация скоростей и напряжений при турбулентном режиме
- •§ 6.11. Осреднение скоростей
- •§ 6.12. Осреднение напряжений
- •§ 6.13. Структура турбулентного потока
- •§ 6.14. Касательные напряжения в турбулентном потоке
- •§ 6.15. Полуэмпирические теории турбулентности
- •§ 6.16. Логарифмический закон распределения скоростей в круглой трубе
- •§ 6.17. Экспериментальные данные для коэффициента гидравлического сопротивления. Опыты Никурадзе и Зегжда
- •§ 6.18. Формулы для определения коэффициента гидравлического сопротивления
- •§ 6.19. Местные сопротивления
- •§ 6.20. Зависимость коэффициента местных потерь от числа Рейнольдса
- •§ 6.21. Принцип наложения потерь напора. Коэффициент сопротивления системы
- •§ 6.22. Основные расчетные формулы для определения потерь напора
- •Глава 7 Гидравлический расчёт трубопроводов
- •§ 7.1. Назначение и классификация трубопроводов
- •§ 7.2. Расчет и проектирование трубопроводов
- •§ 7.3. Гидравлический расчет простого трубопровода
- •§ 7.4. Метод эквивалентных потерь
- •§ 7.5. Гидравлический расчет сложных трубопроводов
- •§ 7.6. Гидравлические характеристики трубопроводов
- •§ 7.7. Гидроэнергетический баланс насосной установки
- •§ 7.8. Сифонные трубопроводы
- •§ 7.9. Гидравлический удар в трубах
- •§ 7.10. Кавитация
- •Глава 8 Истечение жидкости через отверстия и насадки
- •§ 8.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке
- •§ 8.2. Истечение через большое отверстие
- •§ 8.3. Истечение через затопленное отверстие
- •§ 8.4. Истечение жидкости при переменном напоре
- •§ 8.5. Истечение через насадки
- •Оглавление
- •Средние значения модуля упругости е жидких и твердых тел
- •Средние значения эквивалентной шероховатости э
- •Библиографический список
§ 6.15. Полуэмпирические теории турбулентности
Величина в формуле (6.11) обусловлена пульсационными добавками скорости. Для ее определения необходимо иметь зависимость этих добавок от осредненных характеристик потока. Вследствие хаотичного характера турбулентного потока для получения таких зависимостей необходимо применять статистические методы, на которых основаны так называемые статистические теории турбулентности. Однако основанные на этих теориях зависимости оказываются весьма сложными и поэтому они не получили распространение в инженерной практике при решении задач о распределении скоростей и потерях энергии в турбулентном потоке.
Для количественного описания турбулентного движения используются так называемые полуэмпирические теории турбулентности, основанные на упрощенных моделях турбулентного потока.
Основной частью таких теорий является предположение о том, что касательное напряжение, вызванное турбулентным перемешиванием, можно описать в виде, аналогичном закону вязкости Ньютона
,
где - динамический коэффициент турбулентной вязкости. Этот коэффициент имеет ту же размерность, что и обычный динамический коэффициент вязкости μ при ламинарном движении, но отличается от него тем, что не является свойством жидкости, а зависит от интенсивности турбулентного перемешивания.
Различные полуэмпирические теории турбулентности отличаются использованием различных выражений для турбулентной вязкости . Наиболее распространена из них теория Л. Прандтля.
Согласно этой теории на различных расстояниях от стенки величины μ и имеют различные значения. Вдали от стенки градиенты скорости малы и, следовательно, вязкостные напряжения значительно меньше турбулентных . И наоборот, вблизи стенок преобладают вязкостные напряжения. На этом основании поток разделяется на две области: «ламинарный гидродинамический пограничный слой» («ламинарный подслой») у стенок, где движение ламинарное и оно формируется исключительно под действием сил вязкости и «турбулентное ядро», где влиянием вязкости можно пренебречь.
Для величины касательного напряжения в ядре потока принимается выражение
.
Для установления связи между и осредненными скоростями движения Л. Прандтль исходил из следующей схемы пульсационного движения в осредненном плоскопараллельном турбулентном потоке (рис. 6.15).
В турбулентном потоке возникают жидкие комки (моли). Каждый из таких комков обладает собственной скоростью и движется на протяжении некоторого расстояния l в поперечном направлении в виде неразрывного целого с сохранением составляющей скорости u вдоль оси x.
После того как жидкий комок (моль) пройдет некоторое расстояние l, он попадает в другой слой жидкости, где целиком смешивается с этим слоем и приобретает скорость этого слоя.
Величину пути l, пройденного молем в поперечном направлении вплоть до потери им его индивидуальных особенностей, Прандтль назвал путем перемешивания.
Предположим, что такой моль жидкости перешел из слоя 2 в слой 1 (см. рис.6.15). Так как в слое 2 моль в среднем во времени имел скорость
,
а в слое 1 скорость равна , то естественно предположить, что возникающая в слое 1 пульсация
, (6.12)
т.е. величина пульсации равна привнесенному в слой возмущению скорости.
Величину поперечной пульсации Прандтль принимает пропорциональной продольной пульсации u
, (6.13)
где k – коэффициент пропорциональности.
Так как продольная пульсация возникает благодаря поперечной, то естественно положить, что и u пропорциональны (если = 0, то и u= 0, чем больше , тем больше и продольные пульсации u).
Рис.6.15
Кроме того, u и разного знака. Действительно, положительная пульсация приводит к отрицательной пульсации u, так как моль переходит от слоя с меньшей скоростью в слой с большей скоростью. И наоборот, отрицательная пульсация вызывает положительную пульсацию u, так как жидкость переходит из верхнего слоя с большей скоростью в нижний.
Из формулы (6.13) с учетом (6.12) следует
.
Тогда турбулентное напряжение можно представить в виде
или
.
Здесь коэффициент пропорциональности k внесен в величину l, где l по-прежнему характеризует путь молярного перемешивания, но с точностью до постоянного множителя.
Таким образом, хотя мы и избавились от пульсационных добавок, но при этом появилась новая функция l (путь перемешивания), которая должна находиться из опыта эмпирически. Поэтому и теория Л.Прандтля названа полуэмпирической.
По аналогии с молекулярной вязкостью вводят понятие динамического коэффициента турбулентной вязкости т. Формулу для можно записать в виде
.
В дальнейшем для простоты знак осреднения над величинами писать не будем, т.е. будем иметь дело только с осредненными величинами. Тогда
,
где - динамический коэффициент турбулентной вязкости (коэффициент турбулентного обмена).
Можно ввести кинематический коэффициент турбулентной вязкости
.
Тогда суммарное касательное напряжение от молекулярного и молярно-турбулентного трения будет
,
где т не является физической постоянной жидкости, а есть функция ее движения – скорости u.
Как показывает опыт, коэффициент т резко меняется по сечению трубы от нуля у стенки (так как там нет перемешивания) до некоторого максимума на расстоянии 0,5 r0 трубы и до некоторого минимума на оси трубы. В области развитого турбулентного движения T значительно больше величины . В связи с этим всюду в потоке, за исключением области, непосредственно прилегающей к стенке, вязкими напряжениями по сравнению с турбулентными можно пренебречь.
Эпюра касательных напряжений в турбулентном потоке в круглой трубе имеет вид, показанный на рис.6.16.
Рис.6.16