- •В.А.Кудинов, э.М.Карташов гидрАвЛика
- •Глава 1 введение
- •§ 1.1. Краткий исторический обзор развития гидравлики
- •§ 1.2. Определение науки «Гидромеханика»
- •§ 1.3. Реальные и идеальные жидкости
- •§ 1.4. Размерности физических величин, применяемых в гидРомеханИке
- •Глава 2 свойства жидкостей
- •§ 2.1. Основные физико-механические свойства жидкости
- •§ 2.2. Вязкость. Закон ньютона для внутреннего трения в жидкости
- •§ 2.3. Зависимость вязкости от температуры и давления. Вискозиметры
- •Глава 3 гидростатика
- •§ 3.1. Силы, действующие в жидкости
- •§ 3.2. Гидростатическое давление и его свойства
- •§ 3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •§ 3.4. Потенциал массовых сил
- •§ 3.5. Интеграл уравнений эйлера для несжимаемой жидкости
- •§ 3.6. Уравнение поверхности равного давления
- •§ 3.7. Основное уравнение гидростатики
- •§ 3.8. Методы и приборы для измерения давления. Абсолютное и избыточное давление. Вакуум
- •§ 3.9. Гидростатический напор и энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии
- •§ 3.10 Интегрирование уравнений эйлера для случая относительного покоя жидкости
- •§ 3.11. Сила давления жидкости на криволинейную поверхность произвольной формы
- •§ 3.12. Частные случаи расчета сил, действующих на криволинейные поверхности закономерных форм
- •§ 3.13. Сила давления жидкости на плоскую стенку произвольной формы
- •§ 3.14. Гидростатический парадокс
- •§ 3.15. Центр давления и определение его координат
- •§ 3.16. Простые гидравлические машины. Гидравлический пресс
- •§ 3.17. Гидравлический аккумулятор
- •§ 3.18. Закон Архимеда
- •§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел, частично погруженных в жидкость
- •Глава 4 Гидродинамика
- •§ 4.1. Основные кинематические понятия и определения. Два метода исследования движения жидкости
- •§ 4.2. Траектории частиц и линии тока
- •§ 4.3. Установившееся движение
- •§ 4.4. Струйчатая модель движения жидкости. Трубка тока. Расход жидкости
- •§ 4.5. Средняя скорость
- •§ 4.6. Уравнение неразрывности в переменных эйлера в декартовой системе координат
- •§ 4.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости (уравнения эйлера)
- •§ 4.8. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения навье-стокса)
- •§ 4.9. Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •§ 4.10. Физический и геометрический смысл уравнения бернулли. Напор жидкости
- •§ 4.11. Уравнение бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
- •§ 4.12. Уравнение бернулли для потока реальной жидкости
- •§ 4.13. ГрафИческая иллюстрация уравнения бернулли для потока реальной жидкости
- •§ 4.14. Практическое применение уравнения бернулли
- •§ 4.15. Трубка прандтля
- •§ 4.16. Трубка вентури, сопло, диафрагма
- •Глава 5 основы теории гидродинамического подобия
- •§ 5.1. Основные понятия и определения теории подобия
- •§ 5.2. Теоремы теории подобия. Критерии подобия
- •§ 5.3. Физический смысл критериев подобия
- •§5.4. Метод анализа размерности
- •Глава 6
- •§ 6.1. Два режима движения жидкости
- •§ 6.2. Равномерное движение жидкости
- •§ 6.3. Основное уравнение равномерного потока. Уравнение динамического равновесия равномерного потока
- •§ 6.4. Ламинарное движение жидкости
- •§ 6.5. Расход жидкости
- •§ 6.6. Коэффициент линейных потерь при ламинарном движении жидкости
- •§ 6.7. Формирование изотермического ламинарного потока
- •§ 6.8. Основы гидродинамической теории смазки
- •§ 6.9. Турбулентное движение жидкости
- •§ 6.10. Турбулентное перемешивание. Пульсация скоростей и напряжений при турбулентном режиме
- •§ 6.11. Осреднение скоростей
- •§ 6.12. Осреднение напряжений
- •§ 6.13. Структура турбулентного потока
- •§ 6.14. Касательные напряжения в турбулентном потоке
- •§ 6.15. Полуэмпирические теории турбулентности
- •§ 6.16. Логарифмический закон распределения скоростей в круглой трубе
- •§ 6.17. Экспериментальные данные для коэффициента гидравлического сопротивления. Опыты Никурадзе и Зегжда
- •§ 6.18. Формулы для определения коэффициента гидравлического сопротивления
- •§ 6.19. Местные сопротивления
- •§ 6.20. Зависимость коэффициента местных потерь от числа Рейнольдса
- •§ 6.21. Принцип наложения потерь напора. Коэффициент сопротивления системы
- •§ 6.22. Основные расчетные формулы для определения потерь напора
- •Глава 7 Гидравлический расчёт трубопроводов
- •§ 7.1. Назначение и классификация трубопроводов
- •§ 7.2. Расчет и проектирование трубопроводов
- •§ 7.3. Гидравлический расчет простого трубопровода
- •§ 7.4. Метод эквивалентных потерь
- •§ 7.5. Гидравлический расчет сложных трубопроводов
- •§ 7.6. Гидравлические характеристики трубопроводов
- •§ 7.7. Гидроэнергетический баланс насосной установки
- •§ 7.8. Сифонные трубопроводы
- •§ 7.9. Гидравлический удар в трубах
- •§ 7.10. Кавитация
- •Глава 8 Истечение жидкости через отверстия и насадки
- •§ 8.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке
- •§ 8.2. Истечение через большое отверстие
- •§ 8.3. Истечение через затопленное отверстие
- •§ 8.4. Истечение жидкости при переменном напоре
- •§ 8.5. Истечение через насадки
- •Оглавление
- •Средние значения модуля упругости е жидких и твердых тел
- •Средние значения эквивалентной шероховатости э
- •Библиографический список
§5.4. Метод анализа размерности
Размерность какой-либо физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные (первичные). В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. Например, в Международной системе единиц измерения СИ за единицы измерения длины, массы и времени соответственно приняты метр (м), килограмм (кг), секунда (с). Размерность остальных физических величин, так называемых производных единиц (вторичных), принимается на основании законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде так называемой формулы размерности.
Теория размерностей основана на двух положениях.
Отношение двух числовых значений какой-либо величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения (например отношение двух линейных размеров не зависит от того, в каких единицах они будут измеряться).
Любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это утверждение представляет так называемую П-теорему в теории размерности.
Из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных зависимостей
,
где - размерности основных единиц.
Математическое выражение П-теоремы можно получить, исходя из следующих соображений. Пусть некоторая размерная величина а1 является функцией нескольких независимых между собой размерных величин а2, а3, а4,…, аn, т.е.
а1 = f (а2, а3, а4, …, аn).
Отсюда следует, что
(а1, а2, а3, …, аn) = 0.
Допустим, что число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены все n переменных величин, равно m. П-теорема устанавливает, что если все n переменные величины выразить через основные единицы, то их можно сгруппировать в n–m безразмерных членов П, т.е.
При этом каждый П-член будет содержать m+1 переменную величину.
В задачах гидромеханики число переменных, входящих в П-члены, должно равняться четырем. Три из них будут определяющими (обычно это характерная длина, скорость течения жидкости и ее плотность) - они входят в каждый из П-членов. Одна из этих переменных (четвертая) является различной при переходе от одного П-члена к другому. Показатели степени определяющих критериев (обозначим их через x, y, z) являются неизвестными. Показатель степени четвертой переменной для удобства примем равным – 1.
Соотношения для П-членов будут иметь вид
;
;
. . . . . . . . . . . .
.
Входящие в П-члены переменные можно выразить через основные размерности. Так как эти члены являются безразмерными, то показатели степени каждой из основных размерностей должны быть равны нулю. В результате для каждого из П-членов можно составить по три независимых уравнения (по одному для каждой размерности), которые связывают показатели степени входящих в них переменных. Решение полученной системы уравнений дает возможность найти числовые значения неизвестных показателей степени x, y, z. В итоге каждый из П-членов определяется в виде формулы, составленной из конкретных величин (параметров среды) в соответствующей степени.
В качестве конкретного примера найдем решение задачи определения потерь напора на трение при турбулентном течении жидкости [ 11 ].
Из общих соображений можно заключить, что потеря давления p в трубопроводе зависит от следующих основных факторов: диаметра d, длины l, шероховатости стенок k, плотности и вязкости среды, средней скорости течения , начального напряжения сдвига 0, т.е.
или
. (5.8)
Уравнение (5.8) содержит n = 7 членов, а число основных размерных единиц m = 3. Согласно П-теореме получим уравнение, состоящее из n–m = 4 безразмерных П-членов.
Каждый такой П-член содержит 4 переменные. Принимая в качестве основных переменных диаметр d, скорость , плотность и комбинируя их с остальными входящими в уравнение (5.7) переменными, получим
;
;
;
.
Составляя уравнение размерности для первого П-члена, будем иметь
.
Складывая показатели степени при одинаковых основаниях, найдем
.
Для того чтобы размерность П1 была равна 1 (П1 – безразмерная величина), необходимо потребовать равенства нулю всех показателей степеней, т.е.
(5.9)
Система алгебраических уравнений (5.9) содержит три неизвестные величины x1, y1, z1. Из решения этой системы уравнений находим
Подставляя эти значения показателей степени в первый П-член, получим
.
Аналогично для остальных П-членов будем иметь
;
;
.
Подставляя полученные П-члены в (5.8), найдем
.
Решим это уравнение относительно П4
.
Выразим отсюда p
.
Учитывая, что потери напора на трение равны разности пьезометрических напоров, будем иметь
.
Обозначив комплекс, находящийся в квадратных скобках, через , окончательно получим
.
Последнее выражение представляет известную формулу Дарси-Вейбаха, где
.
Формулы для расчета коэффициента трения рассмотрены в § 6.18.