- •Предисловие
- •Занятие 1.Понятие функции, предела и непрерывности функции. Производная функции
- •Краткие сведения из теоретического курса Понятие функции
- •Определение предела функции и бесконечно малой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Производная функции
- •Производная сложной функции
- •Занятие 2.Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к решению прикладных задач
- •Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •Производные высших порядков
- •Механический смысл производной второго порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Приложение дифференциального исчисления
- •Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов
- •Основные понятия
- •Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Полный дифференциал функции
- •Частные производные второго порядка
- •Решение задач
- •Неопределенный интеграл и его основные свойства. Основные методы интегрирования.
- •Основные понятия
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной (подстановки)
- •Метод интегрирования по частям
- •6. Задание на дом.
- •Определенный интеграл и его основные свойства. Приложения определенного интеграла.
- •Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •Свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Метод замены переменных в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Работа переменной силы
- •Занятие 3.Основные понятия теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности. Круглый стол «Применение математического анализа при решении задач физики, химии, фармации»
- •Понятие испытания, события, виды событий
- •Свойства вероятности:
- •Самостоятельная работа студентов на занятии
- •Занятие 4.Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Теорема сложения независимых событий
- •Случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Функция распределения случайной величины
- •График функции распределения
- •Плотность распределения вероятностей. Дифференциальная функция распределения
- •Свойства плотности распределения
- •Характеристики непрерывных случайных величин
- •Нормальное распределение
- •Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •Занятие 6.Статистическое распределение выборки, дискретные и интервальные вариационные ряды. Точечные оценки параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
- •Генеральная и выборочная совокупности
- •Статистический дискретный ряд распределения
- •Статистический интервальный ряд распределения
- •Полигон и гистограмма
- •Эмпирическая функция распределения
- •Оценки характеристик распределения
- •Оценка математического ожидания
- •Оценка дисперсии
- •Оценка среднего квадратического отклонения
- •Интервальные оценки
- •2. Результаты наблюдений за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера в течение минуты, приведены в виде интервального ряда распределения:
- •Построим гистограмму (рис. 9.4)
- •3. Найти оценку математического ожидания и несмещенную оценку дисперсии, если дана таблица распределения:
- •Решение. Для вычисления характеристик воспользуемся расчетной таблицей:
- •Самостоятельная работа студентов на занятии
- •Занятие 7.Погрешности измерений и их оценки. Погрешности прямых и косвенных измерений
- •Погрешности измерений. Истинная, абсолютная и относительные погрешности
- •Типы погрешностей
- •Оценка истинного значения измеряемой величины
- •Вычисление абсолютной погрешности косвенных измерений
- •Занятие 8.Контрольная работа
- •Занятие 9.Деловая игра «Статистика знает все»
- •Приложения
- •I. Греческий алфавит
- •II. Некоторые постоянные
- •III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы
- •IV. Значение функции ех и е -х
- •V. Тригонометрия Значения тригонометрических функций
- •Критические значения распределения Стьюдента
- •Значения функции и
- •Библиографический список
- •Практикум по математике
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)0. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.
Рис. 5.1
Рассмотрим функцию y=f(x), которая определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] точками а=х0,х1…,хn=b (х0<х1<…<хn) на n частичных отрезков, в каждом из которых возьмем произвольную точку сi. Умножим f(ci) на длину соответствующего частичного отрезка xi. Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции . За точное значение площади криволинейной трапеции принимают предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n стремится к :
.
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на [a,b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула: . Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Метод замены переменных в определенном интеграле
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка . Если функция и ее производная непрерывны; ()=а, ()=b, то . При вычислении определенного интеграла методом замены переменных возвращаться к исходной переменной не требуется, так как определенный интеграл есть некоторое постоянное число. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и .
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
Если u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула: . Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)0. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна соответствующему определенному интегралу (геометрический смысл определенного интеграла): . Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0), то ее площадь может быть найдена по формуле: .
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F=F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х=а в положение х=b, находится по формуле: .
Путь пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2: .
Решение задач
Пример 5.1.Вычислить интегралы:
1) ;
2) .
Решение: а) Найдем первообразную для функции f(x)=2x3: . Для того, чтобы воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница возьмем первообразную для которой С=0. Тогда
.
б) Выполним преобразование подынтегральной функции. Используя формулу таблицы интегралов и формулу Ньютона-Лейбница, а также свойство 5 определенного интеграла, получим:
Пример 5.2. Вычислить интегралы
1) ,
2) ,
3) .
Решение: а) Применим метод подстановки. Пусть . Тогда
и . Найдем новые пределы интегрирования: . Следовательно,
.
б) Воспользуемся методом интегрирования по частям.
Положим u = x, dv = e –xdx, откуда du = dx, v = – e –x .
Тогда
.
в) Найдем интеграл методом подстановки. Положим lnx=t, тогда . Найдем новые пределы интегрирования: . Следовательно,
.
Пример 5.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение: Сделаем чертеж. Из чертежа (рис. 5.2) видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: , каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.
Рис. 5.2
Решим систему . Получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2; 4). Тогда
,
.
Окончательно
Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. В данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат. Пределы интегрирования найдены как ординаты точек пересечения данных линий. Тогда
.
Пример 5.4. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kx, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k . 0,01, откуда k =10000; следовательно, F =10000х.
Искомая работа равна .
Пример 5.5. Пусть скорость выражена формулой v(t)=10t+2 (м/с). Найти путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды.
Решение: Путь, пройденный телом равен:
.
Самостоятельная работа студентов на занятии
Вычислить определенные интегралы:
.
.
.
.
.
.
.
Вычислить площади фигур ограниченных линиями:
у= соs x и осью Ох, в пределах от 0 до .
у=х2, у=|х|.
Вычислить работу, произведенную при сжатии пружины на 0,03 м, если известно, что для укорочения ее на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н .
Скорость движения тела v=3t2–2t (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения?
Задание на дом
Практика
Вычислить определенные интегралы:
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;
. Определить площадь фигуры, заключенной между кривой и прямой .
Определить массу стержня длиной l =10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону = (6+ 0,3x) , где х – расстояние от одного из концов стержня. Площадь поперечного сечения S=1м2. (Указание. Масса стержня на элементарном участке dx равна dm=Sdx, где – плотность, S – площадь поперечного сечения)
Теория
Лекция по теме «Случайные события и их классификация. Классическое и статистическое определения вероятности. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий».
Занятие 6 данного методического пособия.
Павлушков И.В. и другие стр. 219-234