2. Результаты наблюдений за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера в течение минуты, приведены в виде интервального ряда распределения:
Интервал Х |
20-24 |
24-28 |
28-32 |
32-36 |
36-40 |
40-44 |
44-48 |
48-52 |
mi |
1 |
4 |
20 |
10 |
8 |
4 |
2 |
1 |
Построить гистограмму частот распределения.
Решение.
Так
как гистограмма это фигура, составленная
из прямоугольников с основаниями х
– длина частичного интервала и высотами
,
то запишем в таблице дополнительную
строку
.
Величина интервала
,
тогда получим таблицу:
Интервал Х |
20-24 |
24-28 |
28-32 |
32-36 |
36-40 |
40-44 |
44-48 |
48-52 |
mi |
1 |
4 |
20 |
10 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
0,25 |
1 |
5 |
2,5 |
2 |
1 |
0,5 |
0,25 |
Построим гистограмму (рис. 9.4)
Рис. 9.3
Рис. 9.4.
3. Найти оценку математического ожидания и несмещенную оценку дисперсии, если дана таблица распределения:
-
хi
2
4
5
6
mi
8
9
10
3
Решение. Для вычисления характеристик воспользуемся расчетной таблицей:
x |
m |
xm |
xв-x |
(xв-x)2 |
(xв-x)2m |
2 |
8 |
16 |
2 |
4 |
32 |
4 |
9 |
36 |
0 |
0 |
0 |
5 |
10 |
50 |
-1 |
1 |
10 |
6 |
3 |
18 |
-2 |
4 |
12 |
|
30 |
120 |
|
|
54 |
Оценкой
математического ожидания является
выборочное среднее – среднее
арифметическое значений статистического
ряда:
;
итак,
.
Несмещенная оценка дисперсии генеральной
совокупности:
;
4. Получена выборка значений случайной величины (длина вируса): 0,33; 0,34; 0,32; 0,33; 0,31 (нм). Найти оценку математического ожидания и оценку средней квадратической погрешности выборочного среднего.
Решение. Обратите внимание: другой вариант составления таблицы (без учета повторений)!
-
xi
0,31
0,016
0,000256
0,32
0,006
0,000036
0,33
-0,004
0,000016
0,33
-0,004
0,000016
0,34
-0,014
0,000196
1,63
0,00052
Найдем среднее
арифметическое:
.
Найдем оценку
средней квадратической погрешности
среднего арифметического:
;
(нм).
5. Известно, что
количественный признак х генеральной
совокупности распределен нормально.
По выборке объема n=20
найдены выборочная средняя
и несмещенная оценка дисперсии
.
Определить интервальную оценку
математического ожидания с доверительной
вероятностью р=0,95.
Решение.
Доверительный интервал для математического
ожидания, в который с вероятностью р
попадает имеет
вид:
.
Найдем оценку среднего квадратического отклонения выборочного среднего:
;
.
По таблице найдем коэффициент Стьюдента
.
По условию р=0,95, число степеней
свободы
.
Итак,
.
Запишем:
;
.