Статистический интервальный ряд распределения

В случае большого количества вариант и непрерывного распределения признака статистическое распределение можно задать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот или относительных частот. Интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на отдельное количество частичных интервалов ]x₀, x₁[, ]x_1, x₂[, … Длиной х и находят для каждого интервала m_i – сумму частот вариант, попавших в i-тый частичный интервал. Относительную частоту определяют как: .

интервал Х	]х0, х1[	]х1, х2[	….	]xk-1, хk[
сумма частот m	m1	m2	…	mk
p^*=m/n	p1^*	p2^*		pk^*

Таблицу, содержащую частичные интервалы и их частоты или относительные частоты, называется статистическим интервальным рядом распределения.

Полигон и гистограмма

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы. Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант х_i, на оси Оу – значения m_i (или p_i*). Построенную таким образом линию (рис. 9.1.) называют полигоном.

Рис. 9.1. Полигон

В случае непрерывного распределения признака вероятность каждого значения х_i равна нулю и описанный способ не годится.

Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием х и высотой или , называется гистограммой (рис. 9.2). Площадь частичного прямоугольника равна . Площадь гистограммы равна сумме всех частот (или относительных частот), т. е. объему выборки (или единице).

На практике для рассматриваемых значений признака строят гистограмму, сравнивая ее с графиком плотности вероятности типичных распределений, можно отнести изучаемое распределение к тому или иному типу.

Рис. 9.2. Гистограмма

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функцию F*(х), определяющей для каждого значения х относительную частоту события Х<x: , где число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х; n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения F*(x) выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией.

Свойства эмпирической функции распределения

Свойство 1. Значения эмпирической функции распределения лежат в интервале: 0F*(x)1.

Свойство 2.F*(x) – неубывающая функция.

Свойство 3. Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при xx₁; если х_k – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>x_k.

Оценки характеристик распределения

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Для того чтобы оценка давала хорошее приближение, она должна удовлетворять определенным требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называется точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называется оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной называется статистическую оценку, которой (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую дисперсию. Состоятельной называется оценку, которая при n  ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Пусть проведено n измерений некоторой случайной величины Х. В случае, когда выборка большая учитывают все повторения значений случайной величины в данной серии. Полученные измерения представлены в виде статистического ряда:

хi	х1	х2	…	хк
mi	m1	m2	…	mк

где х_i – значения случайной величины, m_i – частоты появления значений.

В случае, когда малая выборка повторения значений случайной величины в данной серии не учитывают, считают, что повторяющиеся значения, если таковые встречаются, вообще говоря, различны и статистический ряд имеет следующий вид:

хi:

х1;

х2;

…

хn.

Причем (общему количеству поведенных испытаний).