Занятие 4.Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Актуальность темы: теорема сложения является одной из основных теорем теории вероятностей; случайные величины имеют широкое применение в различных науках.

Цель занятия: закрепить методику решения задач на определение вероятности события с помощью теоремы сложения, закрепить понятие случайных величин, закона распределения дискретной случайной величины и характеристик распределения.

Целевые задачи:

знать: формулировки теоремы сложения для несовместных событий; следствий из теоремы сложения; определение случайной величины, дискретной и непрерывной случайной величины; определения характеристик распределения.

уметь: решать задачи на вычисление вероятности событий, вычислять характеристики распределения дискретной случайной величины.

Краткие сведения из теоретического курса

Теорема сложения независимых событий

Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, заключающееся в наступлении события А, или события В, или событий А и В одновременно. Если события А и В несовместны, то событие С заключается в осуществлении события А или события В.

Теорема: Вероятность наступления одного из двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие 1. (теорема сложения для любого числа несовместных событий). Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. (сумма вероятностей для полной группы событий). Сумма вероятностей событий А₁, А₂, … А_n , образующих полную группу, равна единице:

.

Следствие 3. (свойство противоположных событий). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Различают два типа случайных величин.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

xi	х1	х2	…	хn
pi	р1	р2	…	рn

Так как случайная величина Х в результате испытания всегда примет одно из возможных значений х₁, х₂, х₃,…х_n , то случайные события образуют полную группу событий, поэтому сумма из вероятностей равна единице: .