Оценка математического ожидания

Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значений: .

В случае, когда n велико оценка математического ожидания вычисляется по формуле:

,

где х_i – значения случайной величины, m_i – частоты появления значений, n – общее количество проведенных испытаний, k– количество значений случайной величины. Если частоты m_i не учитывают, то используют формулу:

,

где х_i – значения случайной величины, n – общее количество проведенных испытаний.

Оценку математического ожидания называют также выборочной средней.

Оценка дисперсии

Запишем формулу дисперсии дискретной случайной величины:

Так как , а , то получим:

.

Полученная величина называется дисперсией выборки и обозначается . Однако, эта оценка является смещенной оценкой для дисперсии.

Несмещенной оценкой дисперсии считают величину: .

Несмещенную оценку дисперсии можно вычислять в зависимости от представления статистического ряда по формулам:

или .

Оценка среднего квадратического отклонения

Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения .

Оценка средней квадратической погрешности среднего арифметического

Оценка среднеквадратической погрешности среднего арифметического вычисляется по формуле: .

При решении задач на вычисление оценок дисперсий расчеты удобно проводить в таблице.

Интервальные оценки

Интервальной оценкой называется множество точечных оценок, которое зависит от результатов наблюдений и, следовательно, является случайным. Интервальной называется оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Поэтому каждой интервальной оценке ставится в соответствие доверительная вероятность или надежность, с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. В качестве надежности берут число близкое к единице.

Вероятность того, что интервал (** заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна p: Р**=p. Доверительным называется интервал (**, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Наиболее часто p равно 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях в фармации, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95.

Нахождение доверительного интервала для оценки  нормального распределения при неизвестном . Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение, причем  и  неизвестны. По данным выборки можно построить случайную величину Т (ее возможные значения обозначим через t): , где – выборочная средняя из n наблюдений; – оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней (оценка среднеквадратической погрешности среднего арифметического вычисляется по формуле: )

Распределение Т с f=n-1 степенями свободы называется t-распределением или распределением Стьюдента. Функция плотности вероятности зависит от числа степеней свободы f и не зависит от дисперсии случайных величин . Пользуясь распределением Стьюдента можно определить доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр μ с надежностью  .

Таким образом, интервальной оценкой математического ожидания является доверительный интервал .

Решение задач

1. Построить полигон относительных частот, если дискретный ряд распределения представлен в таблице:

хi	37	38	39	40	41	42	43
mi	1	5	5	8	15	4	12

Решение. Найдем объем выборки . Так как относительная частота , запишем в таблицу полученные значения:

хi	37	38	39	40	41	42	43
mi	1	5	5	8	15	4	12
p*	0,02	0,1	0,1	0,16	0,3	0,08	0,24	=1

Проконтролируем результат, вычислив сумму полученного ряда (по определению ). Построим полигон относительных частот (рис. 9.3).