Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: .

Теорема 2. Предел алгебраической суммы двух функций равен сумме их пределов при условии, что эти пределы существуют:

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов, если последние существуют:

Следствие 1. Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела:

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .

Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют, и предел делителя отличен от нуля:

.

Производная функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале.

Определение. Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента Δх= х - х₀.

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: Δy= Δf = f(x₀-x)-f(x₀)

Определение. Если функция f (x) определенная на промежутке (a; b), то производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при Dx, стремящемся к нулю .

Производная сложной функции

Теорема (о производной сложной функции): Если функция имеет производную в точке х, а функция – производную в соответствующей точке и, то сложная функция в данной точке x имеет производную , которая находится по формуле .

Механический смысл производной: мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути S по времени t.

Физический смысл производной: если y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной: производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна х.

Таблица основных формул дифференцирования

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. ; .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Решение задач

Пример 1.1. Вычислить

Решение. Используя теоремы о пределах, находим:

Часто бывает, что функция y=f(x) при x®x₀ не определена, но существует. В этом случае для отыскания предела нужно предварительно выполнить преобразование функции.

Пример 1.2. Вычислить

Решение. Применяя непосредственно теоремы о пределах, имеем:

Выражение вида в математике носит название неопределенности вида . В этом случае для отыскания предела нужно предварительно преобразовать дробь, разложив числитель x² + 6x+8 на множители: x² + 6x+8 = (x + 2)×(x + 4). Квадратный трехчлен ax²+bx+c разлагается на множители ax²+bx+c=a(x – x₁)×(x – x₂), где x₁ и x₂ – корни уравнения ax²+bx+c которые определяются по формуле:

Сократив числитель и знаменатель на x + 2, получим:

Пример 1.3. Вычислить

Решение. Применив теоремы о пределах, получим неопределенность вида . Для ее раскрытия числитель и знаменатель дроби разделим на старшую степень х в знаменателе, т. е. на х и получим:

Так как неопределенность вида , то .

Пример 1.4. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 1.5. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 1.6. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 1.7. Найти производную функции: .

Решение. Преобразуем функцию . Тогда:

.

Пример 1.8. Вычислить , если .

Решение. Найдем . Вычислим .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. 

Найти производные функций:

1. .

2. 

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Задание на дом

Практика:

Найти пределы функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Найти производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Теория:

1. Лекция по теме «Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к решению прикладных задач».

2. Занятие 2 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 65-100.