Контрольні запитання

1. Що таке первісна?

2. Записати таблицю інтегралів від основних елементарних функцій.

3. Сформулювати основні властивості невизначеного інтеграла.

4. В чому полягають основні методи інтегрування?

5. Як інтегруються дробово-раціональні функції?

6. Дайте означення визначеного інтеграла.

7. Як формулюються основні властивості визначеного інтеграла?

8. Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

9. Які основні методи обчислення визначених інтегралів?

10. Сформулюйте означення невласних інтегралів першого роду.

11. Які ви знаєте застосування визначеного інтеграла?

Задачі контрольної роботи №3

Задача 3.1. Перевірити, що функція задовольняє заданій умові, та знайти частинні похідні другого порядку.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. , .

18. ; .

19. ; .

20. 4*

    ; .

Задача 3.2. Для функції знайти градієнт в точці в напрямі вектора .

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , .

8. , , .

9. , , .

10. , , .

11. , , .

12. , , .

13. , , .

14. , , .

15. , , .

16. , , .

17. , , .

18. , , .

19. , , .

Задача 3.3. Нехай фірма випускає два види товарів. Позначимо їх обсяги через і . Нехай ціни на ці товари і ум. од., а функція витрат . Знайти максимальний прибуток, який може отримати фірма.

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

4. ; ; .

5. ; ; .

6. ; ; .

7. ; ; .

8. ; ; .

9. ; ; .

10. ; ; .

11. ; ; .

12. ; ; .

13. ; ; .

14. ; ; .

15. ; ; .

16. ; ; .

17. ; ; .

18. ; ; .

19. ; ; .

20. ; ; .

Задача 3.4. Результати експерименту наведені в таблиці. Методам найменших квадратів знайти коефіцієнти і функції

1)

	2	3	5	6	9	12
	3	4	6	5	7	8

2)

	3	4	5	6	7	8
	0,7	1,9	2,1	2,5	3,4	4,5

3)

	0	1	2	3	4	5
	1	1,5	2,5	3	3,5	4

4)

	2	3	4	5	6	7
	2	4	3,5	5	5,5	5,5

5)

	1	2	3	4	6	7
	0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2

6)

	2	4	5	7	8	9
	0,7	1	1,5	1,3	1,4	1,7

7)

	0	1	2	4	7	8
	0,4	1	2,5	1,9	2,7	4,3

8)

	2	3	5	6	7	9
	1,5	1,6	1,4	2	2,2	2,5

9)

	1	2	4	5	6	8
	1,2	1,6	2,5	3	3,4	4

10)

	1	2	3	4	5	7
	0,9	1,6	2,5	3,1	3,5	4,5

11)

	3	4	6	7	10	13
	4	5	7	6	8	9

12)

	2	3	4	5	6	7
	1,7	2,9	3,1	3,5	4,4	5,5

13)

	1	2	3	4	5	6
	2	2,5	3,5	4	4,5	5

14)

	1	2	3	4	5	6
	1	3	2,5	4	5,5	4,5

15)

	0	1	2	3	5	6
	0,5	0,6	1	0,9	1,5	1,2

16)

	3	5	6	8	9	10
	1,7	2	2,5	4	5,5	4,5

17)

	1	2	3	5	8	9
	1,4	2	3,5	2,9	3,7	5,3

18)

	1	2	4	5	6	8
	0,5	0,6	0,4	1	1,2	1,5

19)

	2	3	5	6	7	9
	2,2	2,6	3,5	4	4,4	5

20)

	2	3	4	5	6	8
	1,9	2,6	3,5	4,1	4,5	5,5

Задача 3.5. Знайти невизначений інтеграл.

1. a) ; б) ; в) ; г)

2. а) ; б) ; в) ; г)

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ; в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ; б) ; в) ; г) .

11. а) ; б) ; в) ; г) .

12. а) ; б) ; в) ; г) .

13. а) ; б) ; в) ; г) .

14. а) ; б) ; в) ; г) .

15. а) ; б) ; в) ; г) .

16. а) ; б) ; в) ; г) .

17. а) ; б) ; в) ; г) .

18. а) ; б) ; в) ; г) .

19. а) ; б) ; в) ; г) .

20. а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 3.6. Обчислити визначений інтеграл

1. a) ; б) .

2. a) ; б) .

3. a) ; б) .

4. a) ; б) .

5. a) ; б) .

6. a) ; б) .

7. a) ; б) .

8. a) ; б) .

9. a) ; б) .

10. a) ; б) .

11. a) ; б) .

12. a) ; б) .

13. a) ; б) .

14. a) ; б) .

15. a) ; б) .

16. a) ; б) .

17. a) ; б) .

18. a) ; б) .

19. a) ; б) .

20. a) ; б) .

Задача 3.7. Знайти обсяг виробленої продукції за 3 роки, якщо виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд .

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. 19. ;

10. 20. .

Задача 3.8. За даними досліджень розподілу доходів населення деякої країни крива Лоренца описується функцією , де – частка сукупного доходу, яку одержує частинна населення . Обчислити коефіцієнт Джині.

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. ;

10. ; 20. .

Задача 3.9. Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. 6. 7. ; 8. ;

9. 10. 11. ; 12. ;

13. 14. 15. ; 16. ;

17. 18. 19. ; 20. .