Метод найменших квадратів можливої лінійної залежності між змінними

На практиці, зокрема в прикладних питаннях економіки, часто виникає потреба знайти залежність між змінними на підставі проведених експериментів і спостережень.

Нехай потрібно визначити залежність між двома змінними і для яких із практичних досліджень відомо, що значення відповідають значенням . Результати експерименту подано в таблиці:

	…
	…

Точки з координатами на площині утворюють деяку лінію. Наприклад, виявилося, що точки групуються вздовж деякої прямої.

Тоді природно шукати аналітичну залежність у вигляді лінійної функції . Отже, задача зводиться до знаходження таких і , щоб шукана пряма якнайточніше наближалася до всіх точок .

Для знаходження коефіцієнтів і використовують метод найменших квадратів. Було доведено, що ці коефіцієнти можна знайти з системи рівнянь:

(4.8)

Приклад 6. (Задача 3.4) Результати експерименту приведено в таблиці:

	1	2	3	4	5	6
	-0,4	0,1	0,3	0,9	1,2	1,8

Методом найменших квадратів знайти параметри і функції .

Розв’язання.

Побудуємо точки з координатами на координатній площині (Рис.6). Припустимо, що між ними існує лінійна залежність .

Рис. 6

Знайдемо і з системи (4.8):

Обчислюємо:

;

;

;

.

Складемо систему:

Розв’яжемо за формулами Крамера:

,

Таким чином, пряма, яку шукали, задається рівнянням .

Контрольні запитання

1. Що таке функція двох змінних? Які існують способи її задання, як визначається її графік?

2. Яке означення границі функції двох змінних?

3. Яке визначення неперервності функції двох змінних?

4. Як формулюється означення частинних похідних першого порядку?

5. Яке означення повного диференціала функції двох змінних? Як застосовується повний диференціал в наближених обчисленнях?

6. Яке означення похідної за напрямом?

7. Яке означення градієнта функції?

8. Як формулюються означення частинних похідних вищих порядків?

9. Як визначаються локальні екстремуми функцій двох змінних?

10. В чому полягають необхідні і достатні умови локального екстремуму функції двох змінних?

11. В чому полягає метод найменших квадратів?