§5 Інтегральне числення функції однієї змінної

Література: [1] ст. 508-558, [2] ст. 297-349, [3] ст. 269-295, [4] ст. 330-405.

5.1 Невизначений інтеграл

Диференційовану функцію називають первісною для функції на проміжку , якщо для довільного виконується рівність .

Якщо функція − первісна функції на проміжку , то множину всіх первісних для функції називають невизначеним інтегралом і позначають

.

Основні властивості невизначеного інтеграла.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Якщо , то

7. Якщо і − довільна функція, що має неперервну похідну, то:

Таблиця основних інтегралів.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Основні методи інтегрування

Метод безпосереднього інтегрування.

Цей метод ґрунтується на застосуванні табличних інтегралів та основних властивостей невизначеного інтеграла.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. (Задача 3.5(а))

1.

2.

3.

Заміна змінної у невизначеному інтегралі.

Заміна змінної у невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановок двох видів:

1) , де − монотонна, неперервно диференційована на проміжку функція змінної , , а функція визначена на проміжку і має на ньому первісну , тоді

2) , де − нова змінна; формула заміни змінної при такій підстановці:

Приклад 2.

Приклад 3. (Задача 3.5)

Інтегрування частинами.

Нехай визначені і диференційовані на проміжку , тоді справедлива формула:

Типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

А. Інтеграли виду де − многочлен степеня від . В цьому випадку за слід взяти множник

Б. Інтеграли виду:

де − многочлен степеня від . В цьому випадку за слід взяти множник

В. Інтеграли виду дійсні числа.

Після двократного застосування формули інтегрування частинами в правій частині дістанемо заданий інтеграл. Це дає змогу шуканий інтеграл визначити як розв’язок рівняння.

Приклад 4. (Задача 3.5) Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

Приклад 5. (Задача 3.5 )

5.2 Визначений інтеграл

Нехай функція , яка неперервна на відрізку , де , первісна цієї функції на даному відрізку, тобто , для . Під визначеним інтегралом від неперервної функції на розуміємо приріст її первісної , тобто

, або .

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Економічний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він чисельно дорівнює обсягу виробленої підприємством продукції з продуктивністю праці , за інтервал часу .

Основні властивості визначеного інтегралу

1. .

2. 3.

4.

5. (змінну інтегрування можна позначати любою буквою)

6.

Заміна змінної у визначеному інтегралі

Якщо:

1) функція неперервна на ;

2) і неперервні на ;

3) ;

4) монотонна на , то .

Інтегрування частинами

Якщо функції , та їх частинні похідні неперервні на відрізку , то

.