- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії
- •Елементи лінійної алгебри
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Матриця
- •Матричний метод, правило Крамера
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •1.2 Елементи аналітичної геометрії. Вектори та дії над ними
- •Мішаний добуток векторів.
- •Зразки розв’язування задач
- •Пряма на площині.
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №1
- •§ 2. Введення в математичний аналіз. Границя функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •§ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Зразки розв’язування задач
- •Застосування диференціального числення для дослідження функцій
- •Застосування диференціального числення до економічних задач
- •Контрольні запитання
- •Як можна знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку? Задачі контрольної роботи №2
- •§4 Диференціальне числення функцій багатьох змінних
- •Зразки розв’язування задач
- •Метод найменших квадратів можливої лінійної залежності між змінними
- •Контрольні запитання
- •§5 Інтегральне числення функції однієї змінної
- •5.1 Невизначений інтеграл
- •Основні методи інтегрування
- •Зразки розв’язування задач
- •5.2 Визначений інтеграл
- •Зразки розв’язування задач
- •5.3 Використання визначеного інтеграла в економіці
- •Зразки розв’язування задач
- •5.4 Невласні інтеграли першого роду
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №3
- •§6 Диференціальні рівНянНя
- •6.1 Диференціальні рівняння і порядку Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
- •Зразки розв’язування задач
- •Однорідні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння
- •6.2 Диференціальні рівняння іі порядку Лінійні диференціальні рівняння іі порядку з сталими коефіцієнтами
- •Зразки розв’язування задач
- •Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.
- •Контрольні запитання
- •§7 Ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Знакозмінні ряди
- •Степеневі ряди
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №4
- •Література
Контрольні запитання
Яке рівняння називають диференціальним?
Що таке порядок диференціального рівняння?
Як формулюється означення загального розв’язку, частинного розв’язку, загального інтеграла диференціального рівняння?
У чому полягає задача Коші для диференціального рівняння І порядку?
Яке диференціальне рівняння І порядку називається рівнянням із відокремлюваними змінними, як воно розв’язується?
Яке диференціальне рівняння І порядку називається однорідним, як воно зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними?
Яке диференціальне рівняння називається лінійним, метод його розв’язання?
Як записується загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь ІІ порядку із сталими коефіцієнтами в різних випадках?
У чому полягає метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинних розв’язків лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку?
§7 Ряди
Література: [2] – ст. 374-398; [3] – ст. 301-309; [4] – ст. 493-527.
Числовий ряд
, (7.1)
називається збіжним, якщо існує границя частинних сум . Число називається сумою ряда. Якщо ж границя частинних сум не існує, то ряд – розбіжний.
Необхідна ознака збіжності ряду: Якщо ряд збіжний, то його загальний член прямує до нуля при , .
Достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів:
а) Ознака порівняння.
Теорема 1. Нехай задано два знакододатні ряди , і Якщо ряд – збіжний, то ряд також збіжний. Якщо ряд – розбіжний, то ряд теж розбіжний.
Теорема 2. Нехай задано два знакододатні ряди , та ( , тобто існує границя відношення), то ці ряди одночасно збіжні або розбіжні.
Серед числових рядів важливу роль відіграють:
1)
2) – це узагальнений гармонічний ряд, при ряд називається гармонічним, він розбіжний (це можна довести).
Зразки розв’язування задач
Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду .
Розв’язання.
Застосуємо граничну ознаку порівняння. Для порівняння візьмемо ряд – гармонічний, розбіжний.
Шукаємо границю відношення:
.
Так як одержана границя рівна , то ряди ведуть себе однаково, тобто ряд теж розбіжний.
б) Ознака Д’Аламбера.
Теорема 3. Якщо в знакододатньому ряду , існує границя , то
ряд збіжний, якщо ;
ряд розбіжний, якщо ;
при потрібно дослідити за іншою ознакою.
Приклад 7. (Задача 4.3(а)) Дослідити збіжність числового ряду .
Розв’язання.
Скористаємося ознакою Д’Аламбера:
, ,
отже – ряд збіжний.
в) Радикальна ознака Коші.
Теорема 4 Якщо в знакододатньому ряду , існує границя , то
ряд збіжний, якщо ;
ряд розбіжний, якщо ;
при потрібно дослідити за іншою ознакою.
Приклад 8. (Задача 4.3(б)) Дослідити збіжність числового ряду .
Розв’язання.
Скористаємося радикальною ознакою Коші: .
Отже, – ряд збіжний.
г) Інтегральна ознака Коші.
Теорема 5. Нехай задано ряд , члени якого є значеннями неперервної, додатньої і монотонно спадної функції на проміжку . Тоді ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і цей ряд розбіжний, якщо розбіжний невласний інтеграл .
Приклад 9. (Задача 4.3(в)) Дослідити збіжність числового ряду
Розв’язання.
Скористаємося інтегральною ознакою Коші. Функція на проміжку є:
1) неперервна;
2) додатня;
3) знайдемо при , тобто функція спадає.
Розглянемо невласний інтеграл:
.
Цей інтеграл розбіжний, тому і заданий ряд розбіжний.