Застосування диференціального числення до економічних задач
Приклад
18.
(Задача
2.8)
Загальна вартість вироблених
одиниць продукції визначається функцією
(у грн). Скільки одиниць
продукції треба випускати, щоб мінімізувати
середню вартість одиниці продукції?
Розв’язання.
Середня вартість одиниці продукції визначається діленням загальної вартості на кількість вироблених одиниць:
.
Перша
похідна цієї функції
.
Якщо
,
то
.
Перевіримо критичну точку за допомогою другої похідної:
,
.
Таким
чином, відповідний мінімум досягається
при
.
Отже, мінімальна середня вартість одиниці продукції дорівнює
грн.
Еластичність
функції
позначимо
символом
.
Приклад
19.
(Задача
2.9)
Функція попиту має вигляд
.
Розрахувати еластичність попиту.
Розв’язання.
Еластичність попиту рівна
.
Якщо, наприклад, ціна за одиницю продукції рівна 6, то
.
Це означає, що попит є еластичним. При ціні 6 грн її збільшення на 1% приведе до зниження попиту на 1,5%.
Контрольні запитання
Що таке похідна функції однієї змінної?
У чому полягає геометричний зміст похідної?
Яку функцію називають диференційовною?
Яку операцію називають диференціюванням функції?
За якими правилами обчислюється похідна суми, добутку, частки двох функцій?
За яким правилом обчислюється похідна складної функції?
Як можна обчислити похідну степенево-показникової функції?
Як обчислюють похідну функції заданої неявно?
Як обчислюють похідну функції заданої параметрично?
Що називають диференціалом функції?
У чому полягає економічний зміст похідної, диференціала?
Яка ознака монотонності функції?
Які необхідні умови локального екстремуму функції?
Які достатні умови локального екстремуму функції?
Який графік функції називають опуклим вгору, а який опуклим униз?
Що таке точки перегину графіка функції?
Які достатні умови точки перегину графіка функції?
Як визначаються асимптоти графіка функції?
За яким алгоритмом можна дослідити функцію і побудувати її графік?
Як можна знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку? Задачі контрольної роботи №2
Задача 2.1. Обчислити границі функцій:
1. а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. а)
; б)
;
в)
; г)
.
3. а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. а)
; б)
;
в)
; г)
.
5. а)
; б)
;
в)
; г)
.
6.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
7.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
8.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
9.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
10.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
11.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
12.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
13.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
14.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
15.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
16.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
17.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
18.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
19.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
20.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Задача 2.2. Економічним підрозділом заводу встановлено, що при виробництві одиниць продукції щоквартальні витрати виражаються формулою
(гривень),
а доход , одержаний від продажу одиниць цієї продукції, виражається формулою
(гривень).
Кожного
кварталу завод виробляє
одиниць продукції
,
але бажає збільшити випуск цієї продукції
до
одиниць. Обчислити приріст витрат,
доходу та прибутку. Знайти середню
величину приросту прибутку на одиницю
приросту продукції.
Значення
параметрів
визначити по таблиці відповідно до
варіанта.
№ варіанта |
|
|
|
|
|
|
1 |
10000 |
25 |
90 |
–0,01 |
1000 |
1200 |
2 |
15000 |
20 |
110 |
–0,05 |
1500 |
1800 |
3 |
7500 |
15 |
115 |
–0,06 |
2000 |
2100 |
4 |
8000 |
17 |
65 |
–0,08 |
2500 |
2700 |
5 |
9000 |
35 |
85 |
–0,1 |
3000 |
3300 |
6 |
20000 |
30 |
80 |
–0,15 |
3500 |
3900 |
7 |
16500 |
20 |
125 |
–0,03 |
4000 |
4200 |
8 |
17000 |
18 |
70 |
–0,04 |
4500 |
4600 |
9 |
12000 |
17 |
120 |
–0,07 |
5000 |
5100 |
10 |
13500 |
15 |
70 |
–0,09 |
4500 |
4750 |
11 |
14000 |
30 |
100 |
–0,015 |
4000 |
4350 |
12 |
5500 |
10 |
130 |
–0,02 |
3500 |
3750 |
13 |
19500 |
25 |
80 |
–0,025 |
3000 |
3400 |
14 |
22000 |
20 |
110 |
–0,035 |
2500 |
3000 |
15 |
21500 |
45 |
75 |
–0,075 |
2000 |
2250 |
16 |
23000 |
15 |
60 |
–0,085 |
1500 |
1750 |
17 |
25000 |
20 |
80 |
–0,05 |
1000 |
1350 |
18 |
11000 |
25 |
105 |
–0,09 |
1800 |
1950 |
19 |
17500 |
30 |
65 |
–0,001 |
2800 |
3000 |
20 |
9500 |
35 |
50 |
–0,045 |
3800 |
3950 |
Задача 2.3. Зміна кількості населення деякого міста за час , що вимірюється роками, здійснюється за формулою
.
Визначити
середню швидкість зростання населення
в період між часом
та
.
Значення
параметрів
визначити по таблиці відповідно до
варіанта.
№ варіанта |
|
|
|
|
|
1 |
11000 |
1200 |
–100 |
1 |
1,5 |
2 |
11500 |
1120 |
–110 |
2 |
4 |
3 |
12000 |
1000 |
–115 |
2,5 |
3 |
4 |
12500 |
1250 |
–95 |
3 |
5 |
5 |
13000 |
1120 |
–88 |
1,5 |
2 |
6 |
13500 |
1050 |
–92 |
5 |
7,5 |
7 |
14000 |
900 |
–99 |
2 |
2,5 |
8 |
14500 |
990 |
–115 |
2,5 |
4 |
9 |
15000 |
1100 |
–90 |
3 |
5 |
10 |
15500 |
980 |
–85 |
3,5 |
4 |
11 |
16000 |
800 |
–70 |
4 |
7 |
12 |
16500 |
670 |
–140 |
3 |
3,5 |
13 |
17000 |
870 |
–112 |
1 |
2,5 |
14 |
17500 |
950 |
–75 |
4 |
6 |
15 |
18000 |
730 |
–65 |
4,5 |
5 |
16 |
18500 |
620 |
–111 |
4 |
4,5 |
17 |
19000 |
650 |
–150 |
2 |
3,5 |
18 |
19500 |
600 |
–148 |
5,5 |
6 |
19 |
20000 |
550 |
–130 |
7 |
9 |
20 |
21000 |
500 |
–93 |
5 |
5,5 |
Задача
2.4.
Знайти похідні
даних функцій. В завданнях а), г)
знайти
.
1.
а)
; б)
;
в)
; г)
2.
а)
; б)
;
в)
; г)
3.
а)
; б)
;
в)
; г)
4.
а)
; б)
;
в)
; г)
5.
а)
; б)
;
в)
; г)
6.
а)
; б)
;
в)
; г)
7.
а)
; б)
;
в)
; г)
8.
а)
; б)
;
в)
; г)
9.
а)
; б)
;
в)
; г)
10.
а)
; б)
;
в)
; г)
11.
а)
; б)
;
3*
; г)
12.
а)
; б)
;
в)
; г)
13.
а)
; б)
;
в)
; г)
14.
а)
; б)
;
в)
; г)
15.
а)
; б)
;
в)
; г)
16.
а)
; б)
;
в)
; г)
17.
а)
; б)
;
в)
; г)
18.
а)
; б)
;
в)
; г)
19.
а)
; б)
;
в)
; г)
20.
а)
; б)
;
в)
; г)
Задача 2.5. Знайти диференціали функцій. Обчислити наближено значення функцій в точках за допомогою диференціала:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
Задача 2.6. Знайти найбільше та найменше значення функцій на заданих відрізках:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
Задача 2.7. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки:
1. а)
; б)
.
2. а)
; б)
.
3. а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5. а)
; б)
.
6. а)
; б)
.
7.
а)
; б)
.
8. а)
; б)
.
9.
а)
; б)
.
10. а)
; б)
.
11.
а)
; б)
.
12. а)
; б)
.
13.
а)
; б)
.
14. а)
; б)
.
15.
а)
; б)
.
16. а)
; б)
.
17.
а)
; б)
.
18. а)
; б)
.
19.
а)
; б)
.
20. а)
; б)
.
Задача
2.8.
Загальна вартість вироблених
одиниць продукції визначається функцією
(у грн). Скільки одиниць
продукції треба випускати, щоб мінімізувати
середню вартість одиниці продукції?
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
Задача
2.9.
Функція попиту має вигляд
.
Розрахувати еластичність попиту. Дати
економічну інтерпретацію результату
при
.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.