Зразки розв’язування задач

Приклад 6. (Задача 3.6) Обчислити визначені інтеграли.

а) .

б)

в)

5.3 Використання визначеного інтеграла в економіці

Розглянемо задачу визначення капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями (капіталовкладеннями). Під чистими інвестиціями (капіталовкладеннями) розуміють загальні інвестиції, здійснювані в економіці протягом певного проміжку часу без інвестицій, які йдуть на заміщення основних фондів (капіталу). Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на величину чистих інвестицій.

Якщо позначити капітал, який залежить від часу через , а чисті інвестиції − через , то описане вище можна записати у вигляді

Часто виникає необхідність знайти приріст капіталу за період часу від до , тобто величину . Якщо скористатися означенням визначеного інтеграла, то дану величину можна подати у вигляді:

Наприклад

Нехай чисті інвестиції визначаються формулою . Треба знайти приріст капіталу за 8 років.

Розв’язання.

Маємо .

Функцією Кобба-Дугласа називається виробнича функція, яка описує залежить обсягу випадку продукції від витрат капіталу і витрат трудових ресурсів і яка має вигляд , де − параметр продуктивності конкретної технології, − частка капіталу в доході.

Якщо вважати, що витрату капіталу сталі, а витрати трудових ресурсів лінійно залежить від часу , то , де параметри задачі. У цьому випадку обсяг продукції, яка випускається за проміжок часу від до , дорівнює

Зразки розв’язування задач

Приклад 7. (Задача 3.7) Знайти обсяг продукції виробленої фірмою за три роки, якщо функція Кобба-Дугласа:

Розв’язання.

Маємо:

Досліджуючи криву Лоренца − залежність процента доходів від процента тих осіб, які його мають (крива ), ми можемо оцінити міру нерівності при розподілі доходів населення. При рівному розподілі крива Лоренца вироджується в пряму (бісектрису ), тому площа фігури між бісектрисою і кривою Лоренца, поділена на площу трикутника характеризує міру нерівності в розподілі доходів населення.

Рис. 7

Приклад 8. (Задача 3.8) Відомо, що крива Лоренца визначається рівнянням , де − частка сукупного доходу, яку одержує − населення. Обчислити коефіцієнти Джині.

Розв’язування.

Коефіцієнти Джині обчислюються за формулою

5.4 Невласні інтеграли першого роду

Означення. Нехай функція неперервна при .

Тоді інтеграл :

називають невласним інтегралом першого роду, або інтегралом із нескінченною межею інтегрування.

Якщо границя в правій частинні цієї рівності існує й скінченна, то інтеграл називають збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Аналогічно вводяться невласні інтеграли першого роду на проміжку

,

На проміжку невласний інтеграл визначається рівністю:

Зразки розв’язування задач

Приклад 9. (Задача 3.9) Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність.

Інтеграл збіжний.

Для дослідження невласних інтегралів часто використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

.

Оскільки є стале число, то існує тоді і лише тоді, коли існує границя .

Позначивши цю границю , дістанемо узагальнену формулу Ньютона-Лейбніца для невласних інтегралів: .