Контрольні запитання

1 Що таке функція одного аргументу?

2 Що називають областю визначення функції?

3 Що називається областю значень функції?

4 Які основні способи задання функції?

5 Яку функцію називають монотонною, парною, непарною, періодичною?

6 Яку функцію називають складною?

7 Які функції належать до основних елементарних функцій?

8 Які функції називають елементарними?

9 Як формулюється означення границі функції в точці?

10 Які основні властивості функції, що має границю?

11 Яку функцію називають нескінченно малою, а яку – нескінченно великою? Який зв'язок між ними?

12 Які основні властивості нескінченно малих функцій?

13 Які нескінченно малі функції називають еквівалентними?

14 Як формулюються основні теореми про границі функцій?

15 Як визначають важливі границі?

16 Які існують типи невизначеностей?

§ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

Література: [1] – с. 279-390, [2] – с. 216-263, [4] – с. 191-283.

Похідна функції в точці. Похідною функції в точці називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

Функція, яка має скінченну похідну в точці , називається диференційовною в цій точці.

Основні правила диференціювання.

Якщо функції і диференційовні в точці , тоді в цій точці мають місце такі співвідношення:

1. ;

2. ;

3. 

4. .

При розв’язанні задач на знаходження похідної застосовують ряд формул для похідних основних елементарних функцій:

1. ;

2. , ( – довільне число);

3. , ( );

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10)  ;

11)  ;

12) 

13)  ;

14)  ;

15)  ;

16)  ;

17)  ;

18)  .

Похідна складеної функції. Якщо функція має похідну в точці  , а функція має похідну у відповідній точці , то складена функція має похідну в точці і справедливою є формула

.

Похідна функції, заданої параметрично. Похідна функції, яка задана параметрично рівняннями , де і диференційовні в точці  , причому , обчислюється за формулою:

.

Диференціювання неявної функції. Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Будемо вважати дану функцію диференційовною.

Продиференціювавши обидві частини рівняння , отримаємо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції для всіх значень і , при яких множник в рівнянні не перетворюється в нуль.

Диференціювання показниково-степеневої функції.

Похідну показниково-степеневої функції знаходять, провівши попереднє логарифмування.

– показниково-степенева функція,

де і – задані і диференційовні функції від . Маємо

, , ; .

Зразки розв’язування задач

Приклад 11.(Задача 2.4(а)) Знайдемо похідну функції .

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання складеної функції та формули похідних степеневої та логарифмічної функцій, маємо:

Приклад 12. (Задача 2.4 (б)) Знайдемо похідну функції .

Розв’язання.

Прологарифмуємо функцію , а потім продиференціюємо, тобто

,

.

Таким чином, .

Приклад 13. (Задача 2.4 (г)) Знайдемо похідну функції, заданої параметрично

Розв’язання.

Застосовуючи формулу похідної функції, яка задана параметрично, знаходимо:

.

Приклад 14. Продиференціюємо функцію .

Розв’язання.

Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій. Але це приведе до складних обчислень. тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.

Дійсно,

Диференціюючи ( розглядаємо як складену функцію), маємо:

.

Тоді .

Диференціал.

Якщо задано диференційовну функцію , то її приріст

, (1)

де , коли . При величина є величиною нескінченно малою вищого порядку, ніж . Перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції в точці . Цей доданок і називається диференціалом функції.

Диференціалом функції називається добуток похідної даної функції на приріст незалежної змінної. Диференціал функції позначається символом .

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .

Тому .

Геометрично (рис. 5) диференціал функції являє собою приріст ординати дотичної до графіка функції в точці .

Приклад 15. (Задача 2.5) Обчислимо наближено за допомогою диференціала значення функції в точці .

Розв’язання.

У формулі застосування диференціала до наближених обчислень покладемо . Тоді , але , , .

Отже, .

Рис. 5