Знакозмінні ряди

Знакозмінним називається числовий ряд, члени якого можуть бути як додатніми, так і від’ємними.

Розглянемо ряд, знаки членів якого чергуються, тобто ряд довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

, (7.2)

де , .

Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої достатньої ознаки.

Теорема (Ознака Лейбніца). Ряд збіжний, якщо:

1. ;

2. .

При цьому сума ряду додатня і не перевищує першого його члена.

Ряди, для яких виконується ознака Лейбніца, називаються рядами лейбніцевого типу.

Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто .

Приклад 10. Довести, що ряд збіжний і знайти його суму з точністю до .

Розв’язання.

Перевіримо виконання умов Лейбніца:

1. знаки членів ряду строго чергуються;

2. модулі членів ряду спадають ;

3. 

Отже, ряд збіжний і має певну суму .

Для того щоб обчислити суму ряда з точністю до треба взяти стільки його членів, щоб перший з наступних членів був за модулем менший від . Тоді весь залишок ряду, починаючи з цього члена ряда буде менший від . В даному разі маємо:

тобто, щоб знайти суму даного ряду з точністю до , досить залишити перші три члени ряду, а решту відкинути. Таким чином,

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо ряд (7.2) збіжний, а ряд утворений з модулів його членів розбіжний.

Наприклад. Ряд – збіжний і так як ряд , який складається з модулів членів даного ряду, збіжний, то даний знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Ряд – умовно збіжний, так як ряд – розбіжний, як гармонічний, а ряд – збіжний за ознакою Лейбніца.

Степеневі ряди

Ряд виду

(7.3)

називається степеневим рядом.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду , якщо він абсолютно збіжний при , і розбіжний при . При ряд може як збігатися, так і розбігатися.

Інтеграл називається областю збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності може бути знайдений по формулі:

(7.4)

Приклад 11. (Задача 4.4) Знайти область збіжності степеневого ряду .

Розв’язання.

Радіус збіжності знаходимо за формулою (7.4) : , . .

Інтервал збіжності даного ряду визначається нерівністю або .

Дослідимо кінці інтервала збіжності:

1. при , одержуємо числовий ряд: . Застосуємо граничну ознаку порівняння. Для порівняння візьмемо гармонічний ряд – який розбіжний, , отже ряди , ведуть себе однаково. Тому ряд теж розбіжний.

2. при одержуємо знакозмінний ряд . Ряд збіжний за ознакою Лейбніца. Так як ряд складений з модулів членів даного ряду розбіжний, то даний ряд умовно збіжний.

Таким чином, інтервал збіжності досліджуваного степеневого ряду має вигляд .

Контрольні запитання

1. Що таке числовий ряд? Які має властивості?

2. Як формулюється необхідна ознака збіжності числового ряду?

3. Як формулюється ознаки порівняння, ознака Д’Аламбера, радикальна ознака Коші?

4. Які ряди називаються знакозмінними?

5. Сформулювати теорему Лейбніца.

6. Які ряди називаються степеневими?

7. Що таке інтервал збіжності степеневого ряду, чим він відрізняється від області збіжності?