- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії
- •Елементи лінійної алгебри
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Матриця
- •Матричний метод, правило Крамера
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •1.2 Елементи аналітичної геометрії. Вектори та дії над ними
- •Мішаний добуток векторів.
- •Зразки розв’язування задач
- •Пряма на площині.
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №1
- •§ 2. Введення в математичний аналіз. Границя функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •§ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Зразки розв’язування задач
- •Застосування диференціального числення для дослідження функцій
- •Застосування диференціального числення до економічних задач
- •Контрольні запитання
- •Як можна знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку? Задачі контрольної роботи №2
- •§4 Диференціальне числення функцій багатьох змінних
- •Зразки розв’язування задач
- •Метод найменших квадратів можливої лінійної залежності між змінними
- •Контрольні запитання
- •§5 Інтегральне числення функції однієї змінної
- •5.1 Невизначений інтеграл
- •Основні методи інтегрування
- •Зразки розв’язування задач
- •5.2 Визначений інтеграл
- •Зразки розв’язування задач
- •5.3 Використання визначеного інтеграла в економіці
- •Зразки розв’язування задач
- •5.4 Невласні інтеграли першого роду
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №3
- •§6 Диференціальні рівНянНя
- •6.1 Диференціальні рівняння і порядку Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
- •Зразки розв’язування задач
- •Однорідні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння
- •6.2 Диференціальні рівняння іі порядку Лінійні диференціальні рівняння іі порядку з сталими коефіцієнтами
- •Зразки розв’язування задач
- •Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.
- •Контрольні запитання
- •§7 Ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Знакозмінні ряди
- •Степеневі ряди
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №4
- •Література
Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Монотонність функції. Якщо диференційовна на інтервалі і всюди, крім, можливо, скінченого числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає) на .
Інтервали монотонності функції (інтервали спадання чи зростання) відділяються один від одного точками, де похідна функції рівна нулю або не існує. Дані точки називаються критичними точками.
Щоб знайти інтервали монотонності функції , необхідно: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти похідну даної функції; 3) знайти критичні точки з рівняння та з умови, що не існує; 4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і в кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.
Локальний екстремум. Достатні умови екстремуму:
Правило 1. Якщо – критична точка функції і при довільному малому виконуються нерівності , то функція в точці має максимум; якщо ж ,то в точці має мінімум; якщо ж знаки і однакові, то функція в точці екстремуму не має.
Правило 2. Якщо то функція в точці має екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .
Для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку необхідно із значень функції на кінцях відрізка і в критичних точках, які належать даному відрізку, вибрати найбільше (найменше).
Приклад 16. (Задача 2.6) Знайдемо найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Розв’язання.
Знаходимо екстремуми функції. Для цього обчислюємо першу похідну функції
Функція має дві критичні точки . Але точка не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: .
Таким чином, найбільше значення дана функція на відрізку набуває в точці , а найменше – в точці .
Опуклість. Увігнутість. Точки перегину. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі , якщо він розташований нижче (вище) дотичної, проведеної в довільній точці графіка над даним інтервалом.
Достатні умови опуклості (увігнутості) графіка функції: Якщо на інтервалі , то графік функції опуклий на вказаному інтервалі; якщо , то графік функції увігнутий на інтервалі .
Точка графіка функції, яка відділяє його опуклу частину від увігнутої називається точкою перегину. В абсцисах точок перегину друга похідна функції дорівнює нулю або не існує ( або – не існує). Точки, в яких або не існує, називають критичними точками другого роду.
Якщо – критична точка другого роду і при довільному достатньо малому виконуються нерівності або , то точка кривої з абсцисою є точкою перегину.
Асимптоти. Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні даної точки по кривій від початку координат.
Пряма є вертикальною асимптотою кривої , якщо .
Пряма є горизонтальною асимптотою кривої , якщо існує границя або .
Пряма є похилою асимптотою кривої , якщо існують границі:
або
Схема дослідження функції та побудова графіка.
Знайти область визначення функції, інтервали неперервності, точки розриву.
Знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями.
Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.
Знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції у цих точках.
Знайти інтервали опуклості, ввігнутості та перегину.
Дослідження функції на межі області існування. Асимптоти графіка.
Побудувати графік функції, враховуючи дослідження.
Приклад 17. (Задача 2.7) Дослідити методами диференціаль-ного числення функцію
та побудувати її графік.
Розв’язання.
Область визначення: . Точки розриву .
Якщо , то , тому графік перетинає осі координат в точці .
Функція не періодична. Оскільки , то функція непарна, а отже графік функції симетричний відносно початку координат.
. Розв’язком даного рівняння є . Похідна не існує в . Знайдемо знаки на проміжках:
Отже, на – функція спадає, на – функція зростає, на – функція спадає.
У точках функція має локальний екстремум: – локальний максимум, – локальний мінімум.
Знаходимо . Похідна при і не існує при . Знайдемо знаки на проміжках:
Отже, на – крива ввігнута, на – крива опукла.
– вертикальні асимптоти кривої. Знайдемо похилу асимптоту кривої .
– похила асимптота.
Враховуючи проведені дослідження будуємо графік функції.
Рис. 6