- •Передмова
- •§1. Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії
- •Елементи лінійної алгебри
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Матриця
- •Матричний метод, правило Крамера
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •1.2 Елементи аналітичної геометрії. Вектори та дії над ними
- •Мішаний добуток векторів.
- •Зразки розв’язування задач
- •Пряма на площині.
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №1
- •§ 2. Введення в математичний аналіз. Границя функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •§ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •Зразки розв’язування задач
- •Застосування диференціального числення для дослідження функцій
- •Застосування диференціального числення до економічних задач
- •Контрольні запитання
- •Як можна знайти найбільше й найменше значення функції на відрізку? Задачі контрольної роботи №2
- •§4 Диференціальне числення функцій багатьох змінних
- •Зразки розв’язування задач
- •Метод найменших квадратів можливої лінійної залежності між змінними
- •Контрольні запитання
- •§5 Інтегральне числення функції однієї змінної
- •5.1 Невизначений інтеграл
- •Основні методи інтегрування
- •Зразки розв’язування задач
- •5.2 Визначений інтеграл
- •Зразки розв’язування задач
- •5.3 Використання визначеного інтеграла в економіці
- •Зразки розв’язування задач
- •5.4 Невласні інтеграли першого роду
- •Зразки розв’язування задач
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №3
- •§6 Диференціальні рівНянНя
- •6.1 Диференціальні рівняння і порядку Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
- •Зразки розв’язування задач
- •Однорідні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння
- •6.2 Диференціальні рівняння іі порядку Лінійні диференціальні рівняння іі порядку з сталими коефіцієнтами
- •Зразки розв’язування задач
- •Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів.
- •Контрольні запитання
- •§7 Ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Знакозмінні ряди
- •Степеневі ряди
- •Контрольні запитання
- •Задачі контрольної роботи №4
- •Література
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими
(1.4)
де – коефіцієнти системи, – вільні члени.
Матриця
називається матрицею системи.
Матриця
називається розширеною матрицею системи.
Розв'язком системи (1.4) називається впорядкований набір чисел , підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на арифметичні тотожності.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.
Позначимо через Х та В матриці-стовпці
,
складені з невідомих і вільних членів системи (1.4), тоді її матрична форма має вигляд
, (1.5)
Матричний метод, правило Крамера
Нехай в системі (1.4) кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь , тоді основна матриця системи квадратна.
Якщо ( – визначник системи), то існує обернена до матриця і єдиний розв’язок системи можна знайти матричним методом за формулою
, (1.6)
або за формулами Крамера
(1.7)
де – визначники, що отримуються з визначника заміною -го стовпця стовпцем вільних членів.
Розглянемо систему (1.4) лінійних рівнянь з невідомими у загальному випадку. Питання про сумісність такої системи розв'язує наступна теорема.
Теорема Кронекера-Капеллі.
Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи, тобто
.
За цією теоремою, якщо ранги основної та розширеної матриць не рівні, то система несумісна й немає сенсу її розв'язувати. Якщо ранги матриць рівні, то система сумісна.
Для сумісних систем лінійних рівнянь можливі такі випадки:
1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює кількості невідомих, тобто , то система (1.4) має єдиний розв'язок.
Система (1.4) має квадратну невироджену матрицю порядку і її єдиний розв'язок можна знайти матричним методом чи за формулами Крамера.
2. Якщо ранг сумісної системи менший від числа невідомих, тобто , то система (1.4) має безліч розв’язків. Її можна розв’язати методом Гаусса – методом послідовного виключення невідомих. При цьому розширена матриця системи за допомогою елементарних перетворень зводиться до трапецієподібної.
Вільні невідомих вибираються довільно, а базисні невідомих визначаються єдиним способом через вільні невідомі.
Зразки розв’язування задач
Приклад 1. (Задача 1.1) Розв'язати систему лінійних рівнянь
двома способами:
а) за правилом Крамера;
б) матричним способом.
Розв'язання.
а) Обчислимо визначник матриці системи
.
Маємо
Так як визначник системи , то система має єдиний розв'язок, який можна знайти за формулами Крамера:
.
В цьому прикладі маємо
Підставивши знайдені значення визначників у формули Крамера, отримаємо
.
б) Знайдемо розв'язок системи матричним способом.
Дана система рівносильна наступному матричному рівнянню
,
де
Якщо , то розв'язок системи можна знайти за формулою
,
де – обернена до А матриця, що має вигляд
.
Так як , то матриця А має обернену.
Знаходимо матрицю , обернену до А. Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:
.
Розв'язок системи запишемо за формулою (6) у вигляді:
Звідси .
Приклад 2. (Задача 1.2)
а) Підприємство випускає чотири види виробів П1, П2, П3, П4 з використанням чотирьох типів сировини S1, S2, S3, S4. Норми витрат сировини задано матрицею
Треба знайти витрати сировини кожного типу при заданому плані випуску кожного виду виробів
.
Розв'язання.
Очевидно, що витрати П сировини кожного типу можна обчислити, користуючись формулою
.
Тоді
Отже, витрати сировини кожного типу становлять відповідно 605, 550, 835 та 790 одиниць.
б) Взуттєва фабрика спеціалізується з випуску трьох типів продукції П1, П2, П3, використовуючи при цьому сировину трьох видів S1, S2, S3. Норми витрат кожної сировини на одну пару взуття і обсяг витрат сировини на один день задані таблицею 3.
Таблиця 3.
Вид сировини |
Витрати сировини на одиницю продукції |
Запаси сировини |
||
П1 |
П2 |
П3 |
||
S1 |
6 |
4 |
5 |
2400 |
S2 |
4 |
3 |
1 |
1450 |
S3 |
5 |
2 |
3 |
1550 |
Знайти щоденний обсяг випуску кожного типу взуття.
Розв'язання.
Нехай щоденно фабрика випускає пар виробів П1, пар виробів П2 і пар виробів П3. Тоді згідно з витратами сировини кожного виду маємо систему рівнянь
Розв'яжемо дану систему за формулами Крамера:
Отже,
,
а це означає, що фабрика випускає 150 пар взуття типу П1, 250 пар взуття типу П2 і 100 пар взуття типу П3.
Приклад 3. (Задача 1.3)
Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.
Розв'язання.
Маємо
Отже, . Система сумісна. Оскільки ранг менший числа невідомих, то система має безліч розв'язків.
Перетворена система матиме вигляд
або
де – базисні, а – вільна невідома. Розв'язавши останню систему відносно , піднімаючись знизу вгору, знайдемо
де набуває довільних значень.
Отже, , – розв’язок системи.