Математические предложения

62º. Среди данных предложений укажите высказывания и определите их

значения истинности:

а) 63 : (17 – 8) = 42 : 6; б) (45 – 15) : 6 > 17;

в) существуют четные числа;

г) любое натуральное число делится на 5;

д) жизнь прекрасна и удивительна;

е) среди четных чисел есть простые;

ж) множество студентов группы конечно.

63º. Найдите значения истинности следующих высказываний:

а) пересечением множеств А ={a, b, c, d, e} и В = d, e, f, k} является

множество С = {d, e, k};

б) А \ Ø = А;

в) 1,4 N;

г) хотя бы один студент группы является активистом;

д) любой студент группы – отличник;

е) яблоня – хвойное дерево.

64º.Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:

а) 5х + 12 = 7х; б) х²-2х; в) 7*4 +2 = 30;

г) х – кратно 2; д) х > 2;

ж) произведение двух чисел равно 32;

з) сумма х и у равна 60; и) функция у = х².

65. Найдите множество истинности высказывательной формы

12у – 18 ≤ 3у, если

1) у N; 2) у R; 3) у {-4, -2, 0, 2, 4}.

66. На множестве N задана высказывательная форма

А(х): «Число х кратно 3».

а) Составьте высказывания А(15), А(14), А(1122), А(557).

б) Найдите их значение истинности.

67º.Какие из слов: а) лампа, б) стол, в) пить, г) лаять, д) утюг, е) книга,

ж) шить, з) сумка, и) зеркало –

принадлежат множеству истинности высказывательной формы

К(х): «В слове х – четыре буквы», рассматриваемой

1) на множестве существительных;

2) на множестве глаголов;

3) на множестве прилагательных;

4) на множестве слов в словаре С.И.Ожегова.

68º.Даны высказывания:

А: «сегодня идет снег», В: «15 3»,

С: «П.И.Чайковский написал 10 опер», D: «17 : 2 = 9».

Образуйте составные высказывания и определите их значения

истинности:

а) ͞А; б) А ˅ В; в) В ˅ D; г) А => D; д) А ˅ ;

е) А ˅ В; ж) ͞А ˄ В; з) А ˄ С.

69. Записать высказывания на языке логики и определить их значение

истинности:

а) Идет дождь или кто-то не выключил душ;

б) Вечером будет туман и Сергей останется дома или должен будет

надеть плащ;

в) Число 111 делится на три, но оно не делится на 10;

г) Неверно, что квадрат – параллелограмм;

д) 5 ≥ - 3;

е) 2 ≤ 3 < 5;

ж) 7*4 равно 27 или 28.

70º.Даны высказывания:

Р: «Треугольник АВС – равнобедренный», Q: «В треугольнике АВС

высоты равны». Образуйте высказывания, имеющие форму:

а) Р ˅ Q; б) Q ˄ Р; в) Р; г) Q.

Какие из этих высказываний истинны, а какие ложны?

71. Сформулируйте предложения, которые являются отрицанием данных

высказываний, и определите их значение истинности:

а) А: «23 7»; б) В: «5 + 3 = 8»;

в) F: «257 – четное число»;

г) К: «2 = 2»; д) Е: «5*3 ≠ 35»; е) D: «2 < 3».

72º. Найдите в предложениях кванторы, определите вид и назовите

синонимы:

а) существуют равносторонние треугольники;

б) хотя бы в одной из групп первого курса есть медалисты;

в) все кустарники являются растениями;

г) каждое натуральное число является целым.

73º. Найдите в предложениях высказывательные формы и укажите

множества,

на которых заданы перечисленные высказывательные формы:

а) найдите такое натуральное число х, что х < 3;

б) в любом треугольнике стороны равны;

в) некоторые натуральные числа являются однозначными;

г) каждое растение травянистое;

д) всякое число имеет делитель 1;

е) существуют треугольники, в которых одна из высот совпадает с

медианой и биссектрисой.

74. Среди следующих предложений выделите высказывания и составьте

их логическую структуру:

а) 7 < х < 9, х N;

б) существует такое натуральное число х, что 7 < х < 9;

в) любое натуральное число х больше 7 и меньше 9;

г) в треугольнике АВС все стороны равны;

д) существуют треугольники с равными сторонами;

е) в любом треугольнике все стороны равны;

ж) х – однозначное число;

з) некоторые натуральные числа являются однозначными.

75º. Прочитайте следующие предложения и определите их вид:

а) ( n N) n 2; б) ( n N) n 5; в) ( n, m N) n m;

г) ( n N, m N) n m; д) ( х, n N) х = 2 n;

е) ( х, n N) х = 2 n; ж) ( х, n N) х = 2 n + 1;

з) ( х, n N) х = 2 n + 1.

76. Запишите следующие предложения с помощью символов:

а) А(х) следует из В(х); б) В(х) следует из А(х);

в) из С(х) следует Е(х); г) из Е(х) следует С(х);

д) С(х) следует из Е(х); е) Е(х) следует из С(х).

77. Докажите, что каждое из приведенных утверждений ложно:

а) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;

б) если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный;

в) если треугольник равнобедренный, то он остроугольный;

г) если треугольник остроугольный, то он равносторонний.

78. Определите, какое утверждение справедливо. Для каждого из них

составьте логическую структуру:

а) если треугольники равны, то их соответственные элементы равны;

б) число х положительно, следовательно, оно натуральное;

в) из того, что х < 5, следует, что х < 2;

г) х кратно 6 следует из того, что х кратно 12;

д) х > у вследствие того, что разность х и у положительна;

е) для равенства двух углов достаточно того, что они вертикальны;

ж) для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо,

чтобы в нем был хотя бы один прямой угол.

79. Определите, какие из предложений находятся в отношении равносильности:

а) произведение чисел х и у положительно тогда и только тогда, когда

х и у - положительные числа;

б) треугольник Х – остроугольный, тогда и только тогда, когда в

треугольнике Х хотя бы один угол острый;

в) число х кратно 10 тогда и только тогда, когда его десятичная

запись оканчивается цифрой «0»;

г) число х кратно 15 тогда и только тогда, когда оно кратно 3 и 5;

д) квадратное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

дискриминант отрицателен.

80. На множестве Х = {1 ,2, 3,..., 9} заданы высказывательные формы:

А(х): «х > 2», В(х): «х > 2», С(х): «х – однозначное число».

Выясните истинность или ложность предложений:

а) А(х) следует из В(х); б) из А(х) следует С(х);

в) из А(х) следует С(х); г) если С(х), то А(х).

81. В группе имеются два отличника Попова и Смирнов, пять

спортсменов: Попова, Карпова, Смирнов, Голубев, Тетерина. Следует

ли предложение: «Студент группы является спортсменом» из

предложения: «Студент группы – отличник»?

82. Выясните, какие из следующих предложений являются отношением

логического следования, а какие - нет:

а) х + 3 = 0 => х² – 9 = 0; б) х² = 4 => х = 2;

в) (х – 1)(х – 2) = 0 => (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0;

г) х < 3 => х < 7; д) х > 4 => х > 2.

83. Выделите условие и заключение в каждой из теорем:

а) сумма двух четных чисел – четное число;

б) если число кратно 8, то оно кратно 4;

в) в ромбе диагонали перпендикулярны.

84. Покажите, что теорема: «Четырехугольник является

прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны»,

состоит из двух теорем. Запишите ее логическую структуру.

85º. Даны высказывательные формы:

А(х): «Четырехугольник х – прямоугольник».

В(х): «В четырехугольнике х диагонали равны».

С(х): «В четырехугольнике х диагонали в точке пересечения делятся

пополам».

D(х): «В четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны».

Е(х): «В четырехугольнике х диагональ делит его на два равных

треугольника».

Составьте истинные теоремы.

86. Дана теорема: «Противоположные углы параллелограмма равны».

а) Составьте все возможные виды данной теоремы.

б) Определите их значения истинности.