6. Задача лінійного програмування транспортного типу

6.1. Постановка задачі

На попередніх лекціях ми розглянули загальні методи рішення задач лінійного програмування. Проте існують частинні типи задач лінійного програмування, які, в силу особливості своєї структури, допускають рішення більш простішими методами. Одним з таких типів задач лінійного програмування є задачі найбільш раціональної організації (тобто оптимальної) перевезення однорідного продукту з пунктів відправлення (ПВ) до пунктів призначення (ПП), які мають задані ресурси і потреби. Скорочено цей тип задач має назву – транспортна задача.

Критерієм якості плану перевезення може бути їх вартість, або термін (час). Відповідно вирішується транспортна задача за критерієм вартості, або критерієм часу.

В лекції розглянемо задачу при умові мінімальної вартості перевезення.

Постановка задачі: нехай маємо m пунктів відправлення , у кожному з яких міститься певна кількість однорідного продукту одиниць відповідно. Є n пунктів призначення , куди потрібно доставити відповідно одиниць продукту. Передбачається, що сумарний ресурс (загальна кількість) продукту в ПВ дорівнює сумарній потребі усіх ПП , тобто

(1)

Крім того, відома вартість перевезення одиниці продукту від кожного ПВ до кожного ПП . Загальна вартість перевезення по будь-якому маршруту пропорційна кількості продукту, що перевозиться.

Необхідно скласти такий план перевезення (звідки, куди і скільки одиниць), щоб загальна вартість усіх перевезень біла мінімальна.

З точки зору передавання інформації задачу можна подати так. Нехай - сукупність різних видів каналів обслуговування, а - різні плани заявок. Кожне число показує, скільки каналів містить даний вид, а число - скільки є заявок класу . Числа характеризують час обслуговування заявки -го класу каналом обслуговування -го виду.

Мета задачі – розподілити заявки між каналами так, щоб сумарний час обслуговування був мінімальний – це транспортна задача за критерієм часу.

Перш ніж розглянути математичну модель задачі та її рішення зробимо кілька зауважень.

Транспортна задача може бути закритого чи відкритого типу. Умова (1) показує, що задача відноситься до закритого типу. Якщо умова (1) не виконується, тобто

або ,

то задача відкритого типу. Але у всякому разі таку задачу можна звести до задачі закритого типу введенням фіктивного ПВ або ПП ( або ) з нульовою вартістю транспортування .

6.2. Математична модель транспортної задачі

Побудуємо загальну математичну модель транспортної задачі закритого типу за критерієм вартості:

Отже, сума ресурсу дорівнює сумі потреб (1):

Далі задається матриця вартості:

(2)

де - вартість доставки продукти з до і вводиться поняття плана перевезень, який визначається матрицею

(3)

де - кількість одиниць продукту, який перевозиться з до .

План перевезень буде допустимий, якщо елементи матриці задовольняють таким умовам – обмеженням (умовам ввезення і вивезення продуктів):

1).Сумарна кількість продуктів, які направляються з кожного ПВ до всіх ПП повинна дорівнювати запасу продуктів в даному пункті, або така трактовка: з кожного ПВ повинен бути вивезений увесь наявний там продукт. Це дасть нам m умов-рівностей:

,

або

(4)

2). У кожному ПП має задовольнятися потреба в продукті. Це дасть нам n умов-рівностей:

,

або

(5)

Крім того, усі числа ; для всіх

3). Сумарна вартість перевезень по всіх маршрутах повинна бути мінімальною:

(6)

де подвійна сума означає, що підсумовування утворюється по всім комбінаціям індексів та , тобто по всім парам ПВ-ПП.

Таким чином, перед нами задача лінійного програмування з умовами-рівностями (4), (5) і мінімізуємого лінійною функцією (6). Особливістю цієї задачі є те, що усі коефіцієнти в умовах (4), (5) дорівнюють одиниці – це дозволяє розв’язувати задачу відносно просто. Крім цього, із структури моделі задачі видно, що умови-рівноваги (4). (5) лінійно залежні, бо їх праві частини зв’язані умовою (1). Лінійно-незалежних рівнянь буде m + n ─ 1, і базисний розв’язок матиме не більш як m + n ─ 1 невідомих, які не дорівнюють нулю, а число вільних змінних (які дорівнюють нулю)

де - загальна кількість змінних .

Відомо, що в задачі лінійного програмування оптимальне рішення досягається в одній з вершин області допустимих рішень (в опорній точці, де як правило, k змінних дорівнюють нулю). Тобто, для оптимального плану мінімум k перевезень повинні дорівнювати нулю (з відповідних ПВ у відповідні ПП нічого не перевозиться).

Таким чином, допустимий план перевезень повинен задовольняти умовам (4), (5), тобто всі потреби задовільнені, всі запаси використані. Опорним назвемо план, для якого всі базисні m + n ─ 1 змінні будуть більше за нуль, а вільні дорівнюватимуть нулю. План буде оптимальним, якщо він приводить до мінімальної сумарної вартості перевезень ( ).

В силу особливої структури транспортної задачі при її розв’язуванні зручніше представити початкові дані у вигляді таблиці 1.

Таблиця 1

ПВ ПП			…		ресурс (наявність)
			…
			…
. . .		. . .	…		. . .
			…
потреба в			…

Перший стовпчик табл..1 означає ПВ , ,…, , верхній рядок – ПП , ,…, . На перетині кожного рядка і стовпчика записується відповідна вартість перевезення і змінні (кількість одиниць продукту, який перевозиться з ПВ до ПП ). В останньому стовпчику і останньому рядку відображаються числові дані ресурсу в пунктах відправлення і потреби пунктів призначення , які беруться із відповідних умов – рівностей. У клітинці правого нижнього кутка таблиці ставиться сума ресурсу і потреби, які в задачі закритого типу дорівнюють один одному.

Обчислювальні схеми розв’язуваної транспортної задачі подібні методам розв’язування загальної задачі лінійного програмування. Однак використання універсальних методів для розв’язування транспортної задачі є не ефективним. Існують спеціальні методи, дві категорії яких використовуються найбільше. До першої категорії відносяться методи, які реалізують процес послідовного поліпшення плану перевезень: на кожному етапі відбувається повне розподілення продукту по пунктам призначення (ПП) , але вартість не оптимальна; процес послідовного поліпшення плану поетапно зменшує вартість, поки вона не стане мінімально можливою величиною. До таких методів належить відомий метод потенціалів.

Методи другої категорії основані на принципі часткового оптимального розподілення, тобто на кожному етапі виконується оптимальне (по вартості) розподілення тільки частки продукту.

Кількість оптимально розподіленого продукту в процесі рішення задачі поетапно зростає, поки не досягне заданої величини.

Ця ідея лежить в основі, так званого, «угорського» метода розв’язування транспортної задачі. Цей метод особливо добре пристосований до вирішення проблеми вибору.

На лекції ми розглянемо методику розв’язання транспортної задачі методом потенціалів, запропонованого Л.В. Канторовичем та М.К. Гавуріним і, дещо пізніше й незалежно від них, Данцигом.