Для побудови моделі введемо позначення:

j - вид, спосіб діяльності; j  N;

x_j - інтенсивність застосування j- ого способу; j = 1,2,3,…n;

S  M - множина інгредієнтів S, яка розбивається на дві підмножини;

S₁M₁ - продукти і поновлені ресурси (продукти для проміжного и кінцевого використання);

*S₂M₂ – невоспроизводимые ресурси;

A_j = (*S₂M_2asj) - вектор виробничого способу j, компоненти матриці «випуск – затрати»;

**У_s1 - кінцева продукція;

***Q₁ - постійна частина кінцевої продукції;

****У_s1 - вектор змінної продукції;

L_s1 - кількість продукції S₁ в одному комплекті;

Z - число комплектів змінної частини кінцевої продукції;

R_s2 – об‘єм невоспроизводимого ресурсу S₂ виду; S₂  M₂;

У відповідності з прийнятими позначеннями модель має вид:

Z max

при обмеженнях:

1. По балансу виробництва і розподілу продукції:

А_s1jX_j - L_s1Z >= Q_s1; s₁  М₁; s  M₁; j  N;

Кількість вироблених заготівок, має бути не менше кількості споживаючих заготівок.

2. По балансу не відтворюємих ресурсів:

A_s2jX_j <= R_s2; S₂  М₂; j  N;

Ресурсів повинно бути використано не більш їх наявності.

3. Невід'ємність змінних:

Xj >= 0; j  N; Z >= 0;

**В складі кінцевої продукції виділяємо постійну и змінну частини:

Ys₁ = Qs₁ + Ys₁ ;

***Постійна частина кінцевої продукції включає мінімально необхідні об‘єми продукції для невиробничого споживання (які досягнуті у минулому періоді): накопичення, заміщення вибуття основних доходів зовнішньоторгового обміну і т. д.

****Змінна частина кінцевої продукції максимізується у заданому асортименті у відповідності з умовами:

Z max, Ys₁ >= Ls₁Z;

Для того, щоб задача мала рішення, необхідно, щоб матриця випуску і матеріальних затрат способів A (Asj) була продуктивною або деякий вектор Х такий, що АХ <= Х, де У = АХ – вектор затрат, а Х – вектор випуску системи. Затрати продукту не повинні перевищувати випуску того ж продукту.

11. Оптимізаційна модель мгб з обмеженнями на загальні не відтворювані ресурси Постановка завдання

Розглянемо модель в якій баланси виробництва і розподілення продукції доповнюються обмеженнями по загальних, не відтворюваних ресурсах.

Згадаємо (із абстрактної моделі економіки), що коли мова йде про баланс виробництва і розподілення продукції, а її виробництво постійно супроводжують затрати ресурсів, то ми маємо справу з множинами М₁ та М2.

Загальний індекс продукції S₁М₁, наприклад в задачі Канторовича – це заготовки 1-го і 2-го видів і загальний індекс ресурсів S М₂, наприклад в тій самій задачі Канторовича – це дошки різної довжини (2 варіанти дошок).

Множина не відтворюваних ресурсів М₂ включає, головним чином, не відтворювані (природні ресурси).

Побудова моделі

Для побудови моделі введемо позначення:

J - вид продукції; j = 1,2,3...n; jМ₁ заготовки;

X = (Xj) - вектор валового продукту jІ;

L = (Li) -- вектор асортиментних коефіцієнтів приросту кінцевої продукції (заготівок);

Z - кількість компонентів приросту споживання;

Q = (qі) - вектор заданих об’ємів кінцевої продукції;

R - об’єм ресурсів;

f - вектор затрат невідтворюваних ресурсів на виробництво одиниці продукції;

Φ = (φ) =f (E-A)ˉ¹L - вектор повних затрат ресурсів на один комплект приросту кінцевої продукції;

R = (rs)=R-f (E-A)ˉ¹Q - вектор ресурсів для отримання змінної частини кінцевої продукції

В відповідності з прийнятими позначеннями модель матиме вигляд:

Z→max

при обмеженнях:

1. По балансу виробництва і розприділення продукції:

*(E-A) X - LZ >= Q; Q ≥ 0;

Різниця між виробленою і спожитою продукцією повинна бути більша або дорівнювати деякій заданій кількості кінцевої продукції.

2. По затратах невідновних ресурсів:

**fX <= R;

Ресурсів повинно бути використано не більше наявних.

3. Невід’ємність змінних:

Х  0; Z  0.

*Із моделі МГБ ми знаємо, що ( E - A) X = Y, де Х – валовий продукт, а Y – кінцевий продукт.

** Згадаємо, що оптимальний план перетворює першу групу умов у рівності (невигідно виробляти надкомплектні надлишки кінцевої продукції). Наприклад, в задачі Канторовича заготовок 1-го виду - 212,5, а 2 – го - 428. Повних комплектів отримують 212, а це min із 212 і 428 поділено на 2, тобто 2 заготовки надкомплектні. Щоб їх не було, треба першу групу умов записати як рівність (E-A)X – LZ = Q, іншими словами, виробництво заготовок повинно бути таким, щоб після споживання їх залишилося ще якийсь запас, котрий може бути рівний й 0.