15. Моделювання сфери споживання

15.1.Функція корисності. Загальні властивості функції корисності

При побудові абстрактної моделі економіки в якості критерія оптимальності була прийнята цільова функція суспільного добробуту (ЦФД), що характеризує в динаміці різноманітні умови суспільного життя: задоволення матеріальних (продукція і послуги), духовних потреб, умови праці і можливості вибору трудової діяльності, екологічні умови, збереження здоровя і т.д. При моделюванні сфери споживання в якості критерія оптимальності виступає цільова функція споживання (ЦФС), що виражає рівень задоволення матеріальних потреб суспільства (рівень споживання) . ЦФС являється частиною ЦФД. Вона визначена на більш вузькій множині благ у порівнянні з ЦФД. Вектор змінних x≥0 включає різноманітні види продукції і послуг, що використовуються в сфері споживання. Але в цей перелік не входять ряд соціальних, екологічних та інших умов життя суспільства.

Таке обмеження області визначення ЦФ дозволяє, однак, більш ретельно досліджувати з її допомогою проблеми росту матеріального добробуту.

Являючись окремим випадком ЦФБ, функція Z(х)зберігає її загальні властивості як інструмента упорядкування різноманітних наборів (варіантів) споживчих благ з точки зору задоволення потреб суспільства. Ряд властивостей ЦФС зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь Z(x)=C , де С-змінний параметр, що характеризує значення (рівень) ЦФС. В просторі n споживчих благ кожному Z(x)=C відповідає певна поверхня рівноцінних (чи байдужих) наборів благ. В теорії споживання такі поверхні отримали назву поверхонь байдужості. Цей термін був вперше введений англійським економістом-математиком Ф. Еджвертом (1845-1926) в 80-х роках XIX століття. Він був представником математичної школи політекономії.

На множині допустимих значень x можна побудувати сімейство (карту) поверхонь байдужості. Задача, що розглядається, являється задачею нелінійного програмування. Але також як ми геометрично інтерпретували задачу лінійного програмування, де функція цілі була лінійною і зображалась в двомірному просторі, тобто на площині в виді прямої лінії, ми можемо побудувати графік для ЦФС в тому ж двомірному просторі.

Отже, у випадку задачі ЛП воно виглядало так:

Аналогічно будуємо графік для ЦФС.

Розглянемо простір для двох благ. Це можливо якщо різні блага згрупувати в дві групи (наприклад, продукти харчування і непродовольчі товари, включаючи послуги), або розглядати різноманітні комбінації для двох конкретних благ при фіксованих значеннях всіх інших благ.

Рівні ЦФС зображаються на площині у вигляді кривих байдужості.

Доцільно для початку припустити, що функція Z(х) являється строго зростаючою по всіх властивостях аргумента, тобто збільшення споживання будь-якого блага при збереженні рівнів споживання всіх інших благ збільшує значення ЦФС. Якщо Xb≥Xa, то Z(B)>Z(A). Тому більш віддалена від початку координат поверхня байдужості відповідає великому значенню ЦФС (С<С<С), а сам процес максимізації ЦФС на деякій обмеженій множині можна інтерпретувати як знаходження допустимих точок, що належать кривій поверхні байдужості, максимально віддаленій від початку координат. Поверхні байдужості не можуть перетинатися або, інакше, через одну точку простору благ можна провести тільки одну поверхню байдужості. Інакше виявилось би, що один і той же набір благ відповідає декільком різним рівням одночасно.

При русі по поверхні байдужості в будь-якому напрямку якісь значення х будуть зростати, а якісь зменшуватись.

Візьмемо довільну точку А і проведемо через неї прямокутну систему координат. В побудованій системі координат в квадранті 1 розміщуються комбінації більш кращі, ніж А, в квадранті 3 – гірші в порівнянні з А, а в квадрантах 2 і 4 знаходяться комбінації благ з різними відношеннями до набору А, в тому числі і рівноцінні (крива байдужості з набором А обов’язково проходять через квадранти 2 і 4 ).

Очевидно, криві (поверхні) байдужості повинні задовольняти умові, якщо Xb≥Xa і Xd≥Xb, то на відрізку АД завжди знайдеться точка (а), що лежить на одній кривій байдужості з точкою В.

Візьмемо 4 набори благ: х=(2, 3); х=(3, 2); х=(3, 4); х=(4, 3). Z=x x; Zx=2*3=6 рівноцінно Zx=3*2=6; Zx=3*4=12 рівноцінно Zx=4*3=12.

Рівноцінні блага називаються взаємозамінними. Якщо блага цілком не взаємо заміняють один одного в процесі росту добробуту, то вони називаються взаємодоповнюючими або комплектарними. В цьому випадку криві байдужості мають вигляд прямих кутів.

Вершини–мінімальні точки, тобто набори, що забезпечують визначений рівень споживання при мінімальних затратах обох благ. Збільшення споживання одного блага (або декількох) без збільшення споживання додаткових благ не призводить до росту загального рівня споживання (ЦФС). Крім того, що на область споживання ЦФС і поверхонь байдужості накладено обмеження негативності змінних, для більш адекватного відображення закономірностей зміни споживання доцільно ввести обмеження хоча б для частини споживчих благ. Слід враховувати, що споживання ряду благ, безумовно, необхідно або не може суттєво зменшуватись в порівнянні з раніше досягнутим рівнем, а верхні границі повинні відображати повне задоволення (насичення) відповідних потреб.