Відкрита модель Леонтьева

Якщо модель визначається виробничим сектором, зовнішнім ресурсом і попитом, відмінним від потреб технологічних процесів, то вона є відкритою. Виробничий сектор випускає n продуктів, які частково витрачаються усередині сектора. Зовнішній ресурс зазвичай ототожнюється насилу. Розглянемо тільки виробничий сектор. Позначимо матрицю витрат через вона позитивна. Нехтуватимемо на якийсь час зовнішнім ресурсом. Хай - вектор випуску системи.

Тоді - вектор чистого випуску, тобто набір об'ємів продуктів, що залишаються для розподілу поза виробничим сектором.

Основне завдання відкритої моделі полягає в наступному: чи може економіка поставити набір чистої продукції, що призначається кінцевим попитом або асортиментним набором продуктів?.

Позначимо кінцевий попит через вектор стовпець .

Тоді основне завдання може бути сформульована таким чином: чи існує вектор такий, що , тобто такий, що для будь-якого

Якщо (1-А) – невироджена матриця, то завжди можна представити у вигляді:

У випадку, якщо - позитивна матриця, то - невід‘ємний вектор, і завдання було б вирішене.

Розглянемо роль зовнішнього ресурсу у відкритій моделі. Позначимо об'єм зовнішнього ресурсу, потрібний для випуску одиниці j – ої галузі, через , а вектор з компонентами через ; Модель, що враховує зовнішній ресурс, повинна задовольняти додатковій умові: , де - величина, що обмежує допустиме споживання зовнішнього ресурсу. Досліджувати відкриту модель Леонтьева – значить, з'ясувати, чи може кінцевий попит бути задоволений в будь-яких пропорціях. Вважатимемо, що додаткова умова виконується. Якщо опиниться ще, що матриця позитивна, то за наявності цих двох умов кінцевий попит задовольняється в будь-яких пропорціях.

Сформулюємо два економічно осмислених умови, кожне з яких забезпечує необхідний результат:

1. Хай деякий ненульовий кінцевий попит може бути задоволений по всіх продуктах. Тоді кінцевий попит може бути задоволений по всіх пропорціях.

2. Хай існує деяка безліч позитивних цін, при яких кожна галузь може покрити витрати виробництва і, принаймні, для однієї галузі отримати позитивний прибуток. Тоді кінцевий попит може бути задоволений в будь-яких пропорціях.

Якщо перша умова виконується, то із строгою нерівністю для деякого i і, тобто і із строгою нерівністю, принаймні, для одного i і .

Якщо виконується друга умова, то із знаком нерівності для деякого j .

13. Динамічні моделі збалансованого зростання Моделі леонтьевского типу

Мова піде про моделі Дорфмана, Самуельсона і Солоу, які досліджували збалансоване зростання.

Збалансоване зростання, при якому всі пропорції економіки залишаються стаціонарними, забезпечує зв'язок між динамічним і статичним аналізом багатосекторних моделей економіки. Виникає питання, чи володіють деякі економічні моделі режимом збалансованого зростання, і якщо володіють, то чи єдиний він і які характеристики цього режиму.

Аналіз збалансованого зростання у багатьох відношеннях більше схожий на аналіз статичної рівноваги (як у Леонтьева), ніж на аналіз складніших моделей зростання.

Тому дані моделі і носять назву моделей леонтьевского типу, як би узагальнюючи модель Леонтьева.

Розширимо статичну модель “витрати - випуск” найпростішим чином. Припустимо, що через тимчасові лагі (затримок, відставань) між виробництвом продуктів і їх здатністю затрачуватися вимагається, щоб економічна система мала запаси всіх своїх продуктів. Вважатимемо, що економіка в цілому вимагає запас i–ого продукту, рівний, принаймні, кількості цього продукту, що використовується за одиницю часу, помноженому на коефіцієнт споживання запасів k_i . Одиниця часу може бути короткою (тиждень) або довгою (рік) – на результати аналізу не впливає. Слід тільки мати на увазі, що коефіцієнти k_i буває меншими для більш довгого періоду часу.

В моделях Леонтьева і інших моделях типу “витрати - випуск” запаси в кожній галузі передбачаються пропорційними інтенсивності використовування продукту в даній галузі. Достатньо реалістично припустити, що запаси не належать певній галузі, а можуть передаватися у міру потреби з однієї галузі в іншу. Тому має сенс розглядати тільки сумарні запаси економічної системи.

Запишемо набір коефіцієнтів потреби в запасах k_i(i=l, n) у вигляді діагональної матриці К

K= .

Вектор, що визначає сумарні витрати виробництва, рівний .

Таким чином, потреба економічної системи в запасах, необхідних для виробництва валового випуску задається вектором .

Отже, якщо у момент часу t потрібно провести продуктів, то запаси до цього часу повинні бути достатніми для того, щоб забезпечити цей рівень випуску, тобто повинне мати місце співвідношення

;

Хай - довільний асортиментний набір продуктів. Для виробництва цього набору потрібен валовий випуск , що задається, як завжди у відкритій моделі, рівністю

=(1-А)^-1 ;

Таким чином, деякий асортиментний набір продуктів може бути проведений у момент t тільки в тому випадку, якщо

^-1 ;

Це співвідношення є фундаментальним обмеженням моделі “витрати - випуск” із запасами.

А які при цьому потреби в праці?

В справжній моделі праця ніде не є обмежуючим чинником. Обмежуючим ресурсом в моделі є рівень запасів.

Якщо включити в модель працю, то можна відрекомендувати його як одного з продуктів в основній технології і зажадати, щоб необхідний запас праці був пропорційним інтенсивності його використовування в системі.

Оскільки запаси обмежені, зростання в цій моделі має місце, тільки якщо запаси зростають. Зростання забезпечується виробництвом.

Можна вважати, що будь-який асортиментний набір продуктів складається з двох частин. Перша частина - вектор продуктів поточного споживання (для праці це витрати у виробничому процесі, що проводить працю). Друга частина набору - приріст запасів . Маємо два співвідношення:

= + ;

= + ;

Якщо поточне споживання задано, то перша система рівнянь встановлює зв'язок між зростанням запасів і поточними запасами. Друга система фіксує зв'язок між запасами, відповідними двом, наступним один за іншим, періодам часу. Приведені співвідношення служать основою для побудови динамічній моделі.

Зробимо дуже сильне спрощення. Припускатимемо, що споживання кожного продукту є незмінної в часі частиною його чистого продукту.

Хай - відношення споживання до чистого випуску i - го продукту . Назвемо схильністю до споживання i - го продукту. Утворюємо діагональну матрицю Г схильностей до споживання. Маємо

= ;

= - або ;

Рівняння чистого випуску прикмет вигляд:

;

Матриця - діагональна із строго позитивною діагоналлю . Тому існує і є підлозі позитивної. Діагональні елементи її рівні ;

Підставимо вираз чистого випуску у фундаментальне обмеження моделі. Отримаємо систему нерівностей:

;

;

Позначимо як

Підставимо цей вираз в попередню нерівність і отримаємо фундаментальне обмеження моделі у вигляді:

, де

- полу позитивна матриця.

Розглянемо умови, що забезпечують рівноважне зростання, тобто такий, при якому відношення одне і теж для всіх продуктів і, принаймні, запас одного продукту використовується повністю (тобто у фундаментальному обмеженні має місце рівність, принаймні, для одного продукту).

Величина називається темпом зростання системи. Таким чином, задача зводиться до рішення спеціальної системи нерівностей

, в якій вимагається, принаймні, щоб одне співвідношення виконувалося як рівність. При цьому повинне бути .

Єдине рішення приведеної системи є ; , де - найбільший по модулю характеристичний корінь, а - відповідний власний вектор полу позитивної матриці . Ми вимагали рівноваги одного продукту, а воно досягається для всіх продуктів (на рівність перетворюються всі співвідношення фундаментального обмеження).