Застосування моделі Неймана
Розглядаючи економічні моделі, ми шукали екстремум деякої сумарної величини: max прибутку в задачах розподілу фінансів, max продукції в задачі Канторовіча, min витрат праці або грошових коштів в міжгалузевому балансі. Це були статичні задачі.
В динамічних задачах має сенс вважати добрим рішенням таке, при якому що входять в модель величини зростають з однаковим темпом протягом декількох тимчасових періодів і оптимальним, якщо цей темп зростання максимальний.
Модель Неймана може описувати
динамічну модель всієї економіки, в
якій шуканими будуть об'єми продукції
галузей (
),
об'єми накопичень (
)
і об'єми споживання (
).
При рішенні задачі відшукується
максимальний темп
зростання економіки.
Можна застосувати модель Неймана і для вирішення задачі в одній галузі економіки, наприклад, в сталеплавильному виробництві розглядаються мартенівський, киснево-конвертерний і електросталеплавильний способи. Треба довести необхідність заміни мартенівського способу конверторним і це робиться шляхом відшукання оптимального темпу зростання виробництва сталі.
Модель Леонтьева-фон Неймана
Модель фон Неймана допускає можливість сумісних випусків. Нейман, зокрема, розглядав просту модель з двома типами капіталу, кожний з яких використовується при виробництві обох типів. Він, розглядав кожний тип капіталу як частково що використовується після першого використовування і повністю що використовується після другого. Виробничий процес, споживаючий невикористаний капітал, випускає спільно з деяким продуктом і використаний капітал. Якщо ж споживався однократно використаний капітал, то цього не відбувалося.
Модель Леонтьева-фон Неймана аналогічна попередній моделі фон Неймана, але виключає сумісне виробництво. Кожний виробничий процес випускає один продукт, але один і той же продукт може випускатися багатьма процесами.
Можна розглядати цю модель,
як спрощену модель фон Неймана, або як
узагальнену модель Леонтьева. Останнє
визначення – більш природно, оскільки
саме можливість сумісного виробництва
додає моделі фон Неймана специфічний
характер моделі розширення капіталу.
Але як би ми її не називали, вона перекидає
міст між аналізом, що використовується
в моделі фон Неймана і аналогом моделей
Леонтьева, заснованому на теорії підлозі
позитивних матриць. Модель Леонтьева-Неймана
має єдиний коефіцієнт розширення
.
Випуски всіх продуктів ростуть, але
так, що в системі відсутні надлишки. Всі
виробничі процеси розширяються з темпом
зростання.
Решта темпів зростання виробничих процесів же невигідна.
Динамічна модель Канторовича
Постановка задачі: є деяка кількість ресурсу x, яка можна використовувати N різними способами. Ресурси можуть бути самої різної природи (гроші, машини, люди, земля) і т.п., так само, як і способи їх використовування. Наприклад, ресурс - вантажопідйомність завантаження різними типами предметів.
Якщо позначити через xi кількість ресурсу, що використовується і-ым способом, то кожному способу зіставляється функція корисності Yi(xi), що виражає дохід від цього способу. Передбачається, що всі доходи вимірюються в однакових одиницях і загальний дохід рівний сумі доходів, отриманих від використовування кожного способу.
Випишемо задачу в математичній формі:
Знайти загальний дохід від
використовування ресурсів всіма
способами, тобто
за умов:
;
Загальна кількість ресурсів рівно x.
;
Шукані кількості ресурсів ненегативні;
Задача розв'язується за допомогою послідовності функцій і відповідних їм рекуррентных співвідношень, висновок яких заснований на принципі оптимальності Р. Беллмана.
Разом з рішенням початкової задачі одержують рішення цілого сімейства схожих між собою задач.