2.9 Пример расчета погрешности измерительного прибора

Измерительный прибор – специальное контрольное приспособление для измерения наружного диаметра кольца методом сравнения с мерой.

2.9.1 Исходные данные

• Объект контроля кольцо (рис. 2.25 а);

• Контролируемая величина, мм Ø 100 – 0,035;

• Допускаемая погрешность измерения по ГОСТ 8.051, мкм 11;

• Схема измерения и принципиальная схема контрольного приспособления (рис. 2.26).

Объект контроля (кольцо) 1 устанавливается торцовой поверхностью на наклонную плиту 2 и под действием собственной силы веса прижимается к опорному 3 и базирующему 4 сферическим наконечникам с радиусами r₀ = 5 мм. Диаметры d_нб и d_нм кольца измеряются с помощью измерительного преобразователя 5, расположенного диаметрально с опорным наконечником 3.

• Приемы измерения: диаметр кольца измеряется в среднем сечении по высоте кольца путем медленного проворота кольца вокруг его оси на пол-оборота;

• Измерительный преобразователь: измерительная головка 1ИГ с ценой деления 0,001 мм, пределами измерения ±0,05 мм, допускаемой погрешностью 0,8 мкм, размахом показаний 0,33 мкм.

Рис. 2.25. Эскизы объекта измерения (а) и эталон для настройки (б)

Рис. 2.26. Схема измерения и принципиальная схема

контрольного приспособления

• Характеристики измерительного усилия: P_max = (1,75±0,35)Н, суммарный перепад . Радиус измерительного наконечника r_и =1,5 мм, материал – сталь ШХ-15.

• Условия измерения: температура (20° ± 2) °C, место измерения – цеховое бюро технического контроля;

• Эталон для настройки – образцовое кольцо (рис. 2.25 б).

2.9.2 Расчет составляющих погрешностей

Инструментальная погрешность = ± 0,8 мкм определяется допускаемой погрешностью измерительной головки 1ИГ и является суммарной случайной погрешностью.

Погрешность схемы измерения складывается из четырёх составляющих:

– от влияния конусообразной измеряемой поверхности. Измерение производится в одном среднем поперечном сечении (рис. 2.27 а). Следовательно, измеренный диаметр d_из может отличаться от наибольшего d_нб или наименьшего d_нм на величину отклонения продольного профиля EFP типа конусообразность:

;

;

– от влияния нечётной огранки измеряемой поверхности. При измерении двухконтактным методом погрешность схемы измерения будет отсутствовать, если отклонение формы кольца будет иметь четную огранку. Если же огранка будет нечетной, то схема не позволит измерить d_нб (рис. 2.27 б) на отклонение от круглости EFK. Разделяя на систематическую и случайную части, имеем:

;

.

Погрешность является существенно отрицательной, т.к. вызывает уменьшение результата измерения.

Для расчета численных значений погрешности необходимо знать отклонения продольного профиля и отклонение от круглости цилиндрической поверхности кольца. Поэтому расчету точности, а следовательно, и проектированию приспособления должны предшествовать статистические исследования точности обработки кольца для установления пределов отклонений формы и расположения его поверхностей.

Если же такого исследования провести нельзя, то схему измерения необходимо разработать таким образом, чтобы погрешность схемы была равна нулю, т.е. чтобы схема позволяла измерять наибольшие и наименьшие значения диаметров кольца в соответствии с их стандартизованными определениями [34].

Предположим, что в нашем случае в результате статистических исследований установлено, что отклонения формы цилиндрической поверхности кольца в диаметральном выражении составляют 9 мкм (25% допуска на диаметр, что соответствует деталям особо высокой геометрической точности [5], уровень С). Из них: конусообразность EF_кон = 3 мкм, а отклонение от круглости с нечетной огранкой EF_к = 6 мкм. Поскольку конусообразность в диаметральном выражении есть удвоенное отклонение продольного профиля EFP в радиусном выражении, то

EFP = 0,5EF_кон =1,5 мкм.

а) влияние конусообразности на погрешность схемы измерения диаметра;

б) влияние нечеткой огранки на погрешность схемы измерения диаметра;

в), г) образование погрешности базирования при измерении диаметра

Рис. 2.27. К расчету погрешностей контрольного приспособления

Тогда погрешности схемы измерения будут иметь значения

как случайные погрешности, состоящие из систематической и случайной частей при нормальном распределении.

Нечетная огранка определит вторую составляющую схемы измерения:

• – от влияния шероховатости измеряемой поверхности. Погрешность схемы измерения возникает также вследствие шероховатости контролируемой поверхности из-за малого радиуса измерительного наконечника r_и = 1,5 мм измерительной головки.

По формуле (2.25) для шероховатости R_Z = 5мкм измеряемой поверхности получаем:

.

Погрешность является случайной существенно отрицательной погрешностью с равномерным распределением, поэтому можно записать

.

Погрешность относится к измерению и наибольшего, и наименьшего диаметров.

Радиус опорного наконечника 3 устройства измерительного контакта приспособления составляет r₀ = 5 мм. Вследствие этого

или с учётом вероятности

.

• В сумме погрешность схемы измерения наибольшего диаметра составит

а наименьшего диаметра

Погрешность базирования

• Первая составляющая погрешности базирования возникает из-за нарушения принципа единства баз при измерении (рис. 2.27 в) вследствие отклонения от перпендикулярности образующих цилиндрической поверхности Ø (100 – 0,035) мм (измеряемая поверхность) относительно торца кольца (измерительная база) с допуском TPR = 0,05 мм (рис. 2.25 а):

.

По формуле (2.35) можно рассчитать погрешность базирования:

.

Погрешность будет существенно-положительной, т.к. при любом направлении отклонения от перпендикулярности результат измерения всегда будет больше действительного значения:

.

• Вторая составляющая погрешности базирования возникает из-за смещения EE диаметра кольца относительно линии измерения (рис. 2.27 г), в результате чего будет измеряться хорда, а не диаметр. Воспользовавшись формулой (2.34), получим

.

Такой погрешностью можно пренебречь, как имеющей третий порядок малости.

Температурная погрешность

Учитывая, что колебания температуры детали и воздуха в цеховом бюро технического контроля могут составить ±2^°, т.е. иметь размах , а коэффициенты линейного расширения материалов кольца и приспособления примерно одинаковы, воспользуемся формулой (2.38)

.

Колебания температуры относительно нормальной могут принимать и положительные, и отрицательные значения, поэтому погрешность будет случайной центрированной погрешностью с равномерным распределением

.

Силовая погрешность

В контрольном приспособлении действующими силами являются:

P – измерительное усилие измерительного преобразователя, P_макс = 2,1 Н, ,

G – вес (сила тяжести) кольца, G = 2,5 Н.

Под действием скатывающей силы

Q = G · cos α = 2,5 · cos 45° = 1,8 Н,

с учетом силы трения по наклонной плоскости измерительного столика приспособления

кольцо с силой F будет прижиматься к опорному 3 и базирующему 4 наконечникам:

,

при этом нормальная сила R на эти наконечники будет равна

.

С учетом измерительного усилия Р_макс измерительной головки 1ИГ суммарная сила , действующая на опорный наконечник 3, составит

.

Однако для расчета силовых погрешностей важны не сами силы, а их разность по сравнению с усилиями при настройке.

Поэтому необходимо определить вес настроечного эталона Q_э=7,5 Н и по тем же формулам найти нормальную силу на измерительные наконечники

R_н = 3 Н,

и разность усилий при настройке и измерении:

.

Теперь можно рассчитать составляющие силовой погрешности.

• Первая составляющая возникает в результате упругих деформаций кольца под действием измерительного усилия (при настройке эти деформации отсутствуют из-за высокой жесткости меры). По формуле (2.41) находим:

Такой погрешностью можно пренебречь, как имеющей второй порядок малости.

• Вторая составляющая вызывается контактными деформациями измерительного r_и и опорного r_о наконечников под действием перепада измерительного усилия (по формуле (2.42) с учетом равенства модулей упругости сжимаемых тел):

Хотя эта погрешность и является систематической, но установить ее знак практически невозможно. Поэтому принимаем ее центрированной случайной погрешностью с равномерным распределением

.

• Третья составляющая вызывается контактными деформациями опорного наконечника из-за разности усилий при настройке и измерении

.

Эта погрешность является систематической и имеет знак плюс, т.к. рассматриваемые контактные деформации уменьшают размер настроечной меры, что приводит к такому же увеличению результата измерения диаметра кольца по сравнению с его действительным размером. Следовательно:

.

Таким образом, в сумме силовая погрешность составит:

.

Погрешность настройки

Погрешность настройки складывается из следующих составляющих:

• Погрешность изготовления размера эталона (рис. 2.27 в)

.

Это случайная погрешность с нормальным распределением:

• Случайная погрешность измерительной головки 1ИГ

,

где T_р – допускаемый размах показаний,T_р = 0,33 мкм, т.к. настройка ведется на ноль шкалы головки. Следовательно:

;

• Погрешность базирования из-за нарушения принципа единства баз при настройке (рис. 2.27 в). Аналогично расчету погрешности базирования при измерении, но при меньшем допуске перпендикулярности TPR = 0,04 мм (рис. 2.25 б) имеем

.

Эта погрешность является случайной существенно отрицательной, т.к. приводит к увеличению размера меры и, значит, к уменьшению результата измерения. Следовательно:

;

• Погрешность настройки из-за шероховатости эталона R_z находим по формуле (2.47) и таблице (2.6).

.

Погрешность существенно положительная, поэтому

.

Погрешность из-за шероховатости эталона на опорном наконечнике с радиусом r₀ = 5мм пренебрежимо мала.

Силовая составляющая погрешности настройки из-за разного веса настроечного эталона и объекта измерения уже учтена как третья составляющая силовой погрешности измерения.

• Порог чувствительности измерительной головки 1ИГ составляет 0,9 мкм (табл. 2.1). Узел тонкой настройки конструктивно встроен в измерительную головку. Погрешность является случайной, следовательно:

.

Окончательно погрешность настройки составит

Субъективная погрешность

Состоит из следующих составляющих.

Погрешность от параллакса (находим по формуле (2.50)).

,

где h = 0,3 мм – расстояние от указателя до шкалы;

S – чувствительность измерительного преобразователя;

S = a/c = 1 мм/0,001 мм = 1000;

где a = 1 мм – длина деления;

c = 0,001 мм – цена деления.

Отсюда

.

Такой погрешностью пренебрегаем, как имеющей второй порядок малости.

• Погрешность отсчитывания долей деления для цеховых условий составляет (2.53)

.

Погрешность является случайной величиной с равномерным распределением

.

Смещение настройки состоит из следующих составляющих.

Износ измерительного наконечника r_и преобразователя. По формуле (2.54) имеем

,

где u = 0,2·10^-8 мкм/Па·м – для закаленной стали;

p – давление в стыке наконечника с деталью: p = F/S, где F = 2,1 Н – нормальная сила в стыке; – площадь стыка, мм²,

где – контактные деформации, по формуле (2.42)

.

Отсюда S = 6,28·0,0005·1,5 = 0,005 мм², p = 2,1/0,005·10^–5 = 4·10⁸ Па;

L – длина пути трения: L = L₁·n (формула (2.56)), где L₁ = 0,5 πD = 0,5·3,14·100 = 0,16 м; n = 100 деталей между поднастройками. И, следовательно: L = 0,16·100 = 16 м;

K – коэффициент, k = k₁· k₂· k₃, где k₁ = 0,3, т.к. зона измерения чистая; k₂ = 0,05·R_z = 005·5 = 0,25; k₃ = 0,02·HRC = 0,02·50 = 1. Откуда

Окончательно, имеем

.

Расчет дает завышенный результат для износа новых наконечников, т.к. не учитывает значительное изменение давления на стыке по мере износа наконечника из-за увеличения площади стыка. Например, при износе наконечника на 1 мкм давление на стыке уменьшится в 2 раза. Поэтому, если расчет произвести по среднему давлению p = 3·10⁸ Па, то износ нового наконечника составит

.

Это систематическая погрешность со знаком минус:

.

• Аналогичным образом находится износ опорного наконечника

.

• Определяем сбой настройки по формуле (2.58):

.

Эта погрешность является случайной центрированной:

.

Окончательно смещение настройки составит

.