3.5 Расчёт составляющих погрешности преобразователя от действия первичных погрешностей

Погрешность преобразователя складывается из следующих составляющих:

• нелинейная систематическая погрешность;

• линейная систематическая погрешность;

• погрешность от гистерезиса;

• случайная погрешность.

3.5.1 Нелинейная систематическая погрешность

Эта погрешность создаётся векторными и функциональными первичными погрешностями, а также погрешностями расположения и присоединения.

Может рассчитываться способом проектирования на общую нормаль, способом преобразованного механизма, способом плеча и линии действия.

Пример 3.1. Круговой преобразователь указатель-шкала

Преобразователь указатель-шкала имеет векторную первичную погрешность – эксцентриситет геометрического центра C шкалы относительно оси вращения указателя (рис. 3.26 а). Векторная погрешность характеризуется линейным модулем , который нормируется допуском соосности в радиусном выражении и фазовым углом . Направление вектора задаётся относительно оси X полярной системы координат, выходящей из полюса P, совпадающего с осью вращения указателя 2, через точку пересечения T нулевой отметки шкалы 3 с траекторией движения конца указателя. Угол векторной погрешности не нормируется, является случайной величиной и может принимать значения в пределах (рад).

Входным сигналом преобразователя является угол поворота указателя (входного звена). Выходным сигналом Y является линейное перемещение конца указателя по круговой траектории относительно шкалы – выходного звена. Преобразователь не имеет общей нормали между входным и выходным звеньями, т.к. они не касаются друг друга. Поэтому погрешность выходного сигнала от действия векторной погрешности находим проектированием на касательную к траектории движения конца указателя. Для учёта знака погрешности в зависимости от значения входного сигнала , расчёт выполняем в первой четверти угла поворота указателя.

Направление отсчёта углов в преобразователях линейно-угловых величин, так же как в часах, принято положительным при повороте по часовой стрелке (в математике, наоборот – против часовой стрелки).

Тогда погрешность преобразователя по выходу можно рассчитать по формуле

(3.51)

которая показывает, что погрешность от эксцентриситета шкалы является нелинейной функцией и входного сигнала и фазового угла (рис. 3.26 б).

а) расчётная схема (1 – корпус; 2 – указатель; 3 – деление шкалы);

б) график нелинейной погрешности

Рис. 3.26. Круговой преобразователь указатель-шкала:

к расчёту нелинейной погрешности от действия векторной погрешности – эксцентриситета шкалы

В зависимости от значения фазового угла нелинейная погрешность преобразователя от действия векторной погрешности – эксцентриситета шкалы может находиться в пределах от до .

Сравнение функции нелинейной погрешности кругового преобразователя указатель-шкала с нелинейностью функции преобразования рычажных преобразователей (см. рис. 3.17) показывает, что возможна взаимная компенсация нелинейностей, если регулировать значение и направление эксцентриситета шкалы измерительного преобразователя, включающего первичный тангенсный или синусный рычажный преобразователь и выходной преобразователь указатель-шкала.

Пример 3.2. Синусный рычажный преобразователь

Определим влияние отклонения перпендикулярности EPE торцовой плоскости входного звена – стержня 2 (рис. 3.27 а) относительно оси стержня на погрешности угла поворота φ выходного звена – синусного рычага 3. Сфера синусного рычага образует высшую кинематическую пару с торцовой плоскостью стержня при преобразовании входного сигнала X в выходной сигнал φ.

а) начальное положение (1 – корпус; 2 – измерительный стержень;

3 – синусный рычаг); б) преобразовательный механизм (4 – кулиса);

в) план малых перемещений преобразованного механизма

Рис. 3.27. Синусный рычажный преобразователь: к расчёту нелинейной погрешности преобразователя от действия отклонения от перпендикулярности торцовой плоскости измерительного стержня относительно его оси

Отклонение от перпендикулярности ЕПЕ торца стержня относительно его оси нормируется допуском на длине , что эквивалентно первичной погрешности – угловой перекос ; рад.:

. (3.52)

Расчёт погрешности угла поворота преобразователя от действия углового перекоса выполним способом преобразованного механизма. Для этого построим преобразованный механизм (рис. 3.27 б): закрепляем входной стержень в общем положении, соответствующем входному сигналу X, а торцовую плоскость стержня переносим на кулису 4, шарнирно соединенную со стержнем так, чтобы значение угла можно было бы изменять. В построенном механизме кулиса становится входным звеном и при её повороте на угол, равный первичной погрешности , выходное звено – рычаг 3 также будет поворачиваться на угол ( ), равный погрешности преобразователя по выходу.

Для нахождения погрешности строим план малых перемещений (рис. 3.27 в) для точки контакта сферы с кулисой преобразованного механизма: из произвольного полюса P проводим прямую, параллельную оси стержня, и на ней откладываем отрезок PC в произвольном масштабе перемещение точки контакта, принадлежащей кулисе:

(3.53)

где a – смещение центра сферы по торцовой плоскости стержня при повороте рычага на угол

(3.54)

где q₃ – длина синусного рычага;

(3.55)

Затем из полюса P проводим прямую PC′ , перпендикулярную синусному рычагу 3 (по этой линии направлен вектор скорости точки контакта, принадлежащей сфере рычага), а из точки C – прямую, параллельную кулисе в её начальном положении. Тогда отрезок PC′ в том же масштабе будет характеризовать угол поворота выходного звена преобразованного механизма или, что тоже самое, погрешность синусного рычажного преобразователя по выходу :

. (3.56)

План малых перемещений представляет собой прямоугольный треугольник, в котором угол при вершине P равен углу поворота синусного рычага преобразованного механизма, как угол с взаимноперпендикулярными сторонами. Это позволяет установить математическую зависимость погрешности преобразователя от действий первичной погрешности :

(5.57)

Знак минус указывает на то, что угол поворота рычага будет уменьшаться при перекосе плоскости торца по часовой стрелке.

Окончательно

(3.58)

Функция является нелинейной от входного сигнала, а погрешность преобразователя – нелинейной погрешностью.

Учитывая, что функция преобразования синусного рычажного преобразователя также нелинейна, возможна взаимная компенсация нелинейностей за счёт регулировки угла перекоса торцовой плоскости стержня.

Пример 3.3. Зубчатый преобразователь

Функциональный характер кинематической погрешности зубчатого колеса также создаёт нелинейную погрешность, хотя теоретическая функции преобразования зубчатого преобразователя линейна:

(3.59)

где r₂, r₃ – радиусы делительных окружностей входного зубчатого колеса 2 и выходной шестерни 3 (рис. 3.28 а).

Нелинейность реальной функции преобразования зависит от кинематических погрешностей колёс и [25], начальных фаз и кинематических погрешностей в начальном положении преобразователя и чувствительности преобразователя

, (3.60)

Функциональную кинематическую погрешность зубчатого колеса можно представить вращающимся вектором (рис. 3.28 б).

(3.61)

где положительные начальные фазы и отсчитываются в первой четверти по направлениям углов поворота колёс от соответствующих обобщённых плеч и , перпендикулярных общей нормали n-n в точке контакта зубьев.

Нормаль располагается под углом зацепления к общей касательной ε-ε к делительным окружностям зубчатого колеса 2 и шестерни 3.

Для нахождения погрешности преобразователя от действия кинематических погрешностей, воспользуемся способом проектирования на общую нормаль векторов и :

(3.62)

(3.63)

а) расчётная схема: 1 – корпус; 2 – входное колесо; 3 – выходная шестерня;

б) кинематические погрешности колеса и шестерни; в) составляющие и суммарная нелинейная погрешность преобразователя

Рис. 3.28. Влияние кинематических погрешностей колеса и шестерни

на нелинейную погрешность угла поворота выходной шестерни

зубчатого преобразователя

или, переходя к входному сигналу , находим

(3.64)

где r_o.2 и r_o.3 – радиусы основных окружностей колеса и шестерни:

(3.65)

Знак плюс результата действия положительного значения кинематической погрешности входного зубчатого колеса 2 означает увеличение угла поворота выходной шестерни 3 (рис. 3.28 а), т.к. приводит к смещению зуба колеса вверх по нормали n-n. Такое же смещение зуба выходной шестерни 3 от ее положительного значения кинематической погрешности приводит к уменьшению выходного угла φ во избежание потери контакта между зубьями. Поэтому результат действия собственной кинематической погрешности выходной шестерни имеет знак минус (3.62).

Суммарная погрешность зубчатого преобразователя находится суммированием найденных составляющих:

. (3.66)

И составляющие погрешности, и суммарная погрешность являются нелинейными погрешностями (рис. 3.28 в) зубчатого преобразователя. Вид нелинейности суммарной погрешности, ее экстремальное и амплитудное значения зависят от начальных фаз и чувствительности преобразователя. При чувствительности преобразователя S = 1 возможна взаимная компенсация кинематических погрешностей колес при равенстве их начальных фаз. Однако начиная с чувствительности S = 2 и более, результаты действия кинематических погрешностей колеса и шестерни, как правило, складываются, увеличивая суммарную нелинейную погрешность преобразователя.

Пример 3.4. Фрикционный преобразователь

1 – корпус; 2 – линейка; 3 – диск; 4 – толкатель; 5 – пружина Рис. 3.29. К расчету нелинейной погрешности фрикционного преобразователя

Фрикционный преобразователь (рис. 3.29) преобразует линейный входной сигнал X – перемещение линейки 2 – в угловой выходной сигнал φ вращения диска 3. Теоретически функция преобразователя выражается линейной зависимостью , (3.67) где r3 – радиус диска 3. Нелинейную погрешность фрикцион – ного преобразователя создают функцио – нальные первичные погрешности формы: - отклонение от прямолинейности EF2 образующей линейки, нормируемое допус - прямолинейности Tл: , (3.68)

где ℓ – длина волны отклонения;

- отклонение от круглости EF₃ диска 3, нормируемое допуском круглости T_к:

, (3.69)

где n – число граней огранки, .

Нелинейный характер функциональных первичных погрешностей (первая – функция входного сигнала X, вторая – функция выходного сигнала φ) приводит к образованию нелинейной функции преобразования . Определим эту погрешность способом плеча и линии действия.

Для этого найдем линию действия ЛД преобразователя, по которой передается рабочее усилие (сила трения) от линейки к диску, – это будет прямая, касательная к диску в точке соприкосновения с линейкой, – и обобщенное плечо r_о – как перпендикуляр из центра вращения выходного звена (диска 3) на линию действия.

Влияющие отклонения формы линейки и диска принадлежат подвижным звеньям и направлены под прямым углом к линии действия. Поэтому они должны проектироваться на обобщенное плечо, вызывая его приращение. Однако отклонение от прямолинейности EF₂ линейки не вызывает изменения обобщенного плеча r_о, создавая лишь перемещение оси диска 3, компенсируемое пружиной 5 и толкателем 4. Следовательно, отклонение от прямолинейности EF₂ линейки не создает нелинейную погрешность фрикционного преобразователя.

Другое дело отклонение от круглости диска EF₃ – оно проявляется в точке контакта диска с линейкой в зависимости от угла поворота диска, вызывая уменьшение выходного обобщенного плеча r_о и увеличение выходного сигнала φ:

, (3.70)

создавая действующую погрешность

(3.71)

Переходя к погрешности угла поворота диска, окончательно имеем нелинейную погрешность преобразователя , рад:

(3.72)

Задаваясь различным числом , будем иметь различные виды нелинейной погрешности от действия отклонений от круглости, а задаваясь числом n = 1, получим нелинейную погрешность от действия эксцентриситета или отклонения от соосности диска. У всех отклонений есть одно общее – это синусоидальные величины. Отличие – в числе гармоник за один оборот диска.

Пример 3.5. Двуплечий рычажный преобразователь

Влияние отклонений присоединения на нелинейную погрешность рассмотрим на примере двуплечего рычажного преобразователя, собираемого из двух синусных рычажных преобразователей.

Если систему координат преобразователя определяет входной (первичный) преобразователь (рис. 3.30), то в процессе сборки второй (выходной) преобразователь будет иметь отклонения присоединения относительно первого.

а) расчетная схема; б) структурная схема

Рис. 3.30. Влияние отклонений присоединения на нелинейную

погрешность двуплечего рычажного преобразователя

Таким отклонением присоединения будет смещение E_пр центра сферы выходного преобразователя относительно его теоретического рычага ТР. Результатом этого отклонения будет увеличение номинального угла 180^о между

преобразователями на угловой перекос присоединения:

, (3.73)

где q_вых – длина рычага выходного преобразователя.

Если функция преобразования входного преобразователя имеет вид

, (3.74)

то функция преобразования всего двуплечего преобразователя будет выглядеть значительно сложнее

(3.75)

Эта функция является нелинейной как функция синуса суммы двух углов. Ее нелинейность определяет нелинейную погрешность двуплечего рычажного преобразователя по выходу от действия отклонений присоединения E_пр. Погрешность устраняется регулировкой начального положения.