- •Cодержание
- •Введение
- •1 Основные понятия
- •1.1 Структура объекта измерения
- •Параметры геометрической модели вала редуктора
- •1.2 Классификация геометрических величин
- •1.3 Состав измерительного прибора
- •1.4 Структура погрешностей измерительного прибора
- •1.5 Правила суммирования погрешностей
- •1.6 Неопределённость измерений
- •1.7 Нормальные условия выполнения измерений
- •Основные условия
- •Дополнительные условия:
- •Вопросы для контроля знаний
- •2 Точность измерительных приборов
- •2.1 Выбор узаконенных измерительных преобразователей и оценка их инструментальной погрешности
- •2.2 Погрешность схемы измерения
- •Для перехода к абсолютным погрешностям схемы измерения диаметра, необходимо найти его отклонения Еd:
- •2.3 Погрешность базирования при измерении
- •2.4 Температурная погрешность
- •2.5 Погрешность от действия сил при измерении
- •2.6 Погрешность настройки
- •2.7 Субъективная погрешность
- •2.8 Смещение настройки
- •2.9 Пример расчета погрешности измерительного прибора
- •2.9.1 Исходные данные
- •2.9.2 Расчет составляющих погрешностей
- •2.9.3 Расчёт погрешности измерительного прибора
- •2.9.4 Обработка результатов расчётов
- •Заключение
- •Вопросы для контроля знаний
- •3 Точность преобразователей
- •3.1 Основные понятия теории точности преобразователей
- •3.2 Расчёт параметров измерительных устройств
- •Учитывая, что диапазон намерения
- •3.3 Нелинейность функции преобразования
- •3.4 Первичные погрешности и способы расчета их влияния на точность преобразователей
- •Кинематические пары механических преобразователей
- •3.5 Расчёт составляющих погрешности преобразователя от действия первичных погрешностей
- •3.5.1 Нелинейная систематическая погрешность
- •3.5.2 Линейная систематическая погрешность
- •3.5.3 Погрешность от гистерезиса
- •3.5.4 Случайная погрешность
- •3.6 Пример расчета погрешности измерительного устройства
- •3.6.1 Исходные данные для расчета
- •3.6.2 Выбор измерительного преобразователя
- •3.6.3 Расчет параметров первичного рычажного преобразователя
- •3.6.4 Расчет характеристик измерительного усилия
- •3.6.5 Нелинейная погрешность рычажного преобразователя
- •3.6.6 Линейная погрешность рычажного преобразователя
- •3.6.7 Погрешность от гистерезиса
- •3.6.8 Случайная погрешность
- •3.6.9 Погрешность рычажного преобразователя
- •3.6.10 Погрешность всего измерительного устройства
- •Вопросы для контроля знаний
- •Библиографический список
1.6 Неопределённость измерений
В международной практике с целью сопоставления результатов измерений перешли к оценке их точности новым показателем – неопределённостью измерений [56, 38].
Появление критерия неопределённости измерений связано с практической нереализуемостью понятия погрешности измерения как разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины, т.к. истинное значение величины – это философская абсолютная истина, значение которой неизвестно. Вместо истинного значения принимают действительное значение с некоторой минимальной погрешностью, но опять же отсчитываемой от неизвестного истинного.
Неопределённость измерений характеризует рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.
Количественными выражениями неопределённости результата измерений являются:
стандартная неопределённость (u) для прямых измерений, вычисленная как среднее квадратическое отклонение;
- суммарная стандартная неопределенность (uc) для косвенных измерений, вычисленная квадратическим суммированием стандартных неопределенностей прямых измерений величин, функционально связанных с искомой, с учетом их коэффициентов влияния;
- расширенная неопределенность (U) – это ширина половины интервала вокруг результата измерений, в пределах которого находится большая часть распределения значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине с указанной доверительной вероятностью.
За результат измерения величины принимается среднее арифметическое исправленных, т.е. с введением поправок, многократных (m) измерений.
Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:
- по типу A – путем статистической обработки результатов многократных измерений;
- по типу B – с использованием других способов.
По типу A стандартную неопределенность находят как среднее квадратическое отклонение ряда исправленных наблюдений xi многократных измерений:
- для единичных измерений i-й величины
, (1.12)
где – математическое ожидание, или среднее арифметическое значение наблюдений i-й измеряемой величины:
; (1.13)
- для измерений, при которых каждый результат определяют как среднее арифметическое:
(1.14)
По типу B исходными данными для вычисления стандартной неопределенности являются:
- данные предшествующих измерений величин, входящих в уравнение измерения;
- сведения о виде распределения вероятностей;
- экспертные оценки, основанные на опыте исследователя;
- общие знания о поведении и свойствах соответствующих средств измерений;
- неопределенности констант и справочных данных;
- данные поверки и калибровки;
- сведения изготовителя о приборе и др.
Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонений значений величин от их оценок.
Особенностью стандартной неопределенности типа B является постулирование равномерного закона в качестве основного для распределения возможных значений измеряемой величины между нижней (bi-) и верхней (bi+) границами (рис. 1.4 а):
, (1.15)
а для симметричных границ (±bi) (рис. 1.4 б):
. (1.16)
а) несимметричное распределение; б) симметричное распределение.
Рис. 1.4 Равномерный закон распределения возможных значений измеряемой величины
Суммарная неопределенность результата измерений величины рассчитывается по формуле
, (1.17)
где y – определяемая величина, устанавливаемая расчетом по результатам измерения других величин (xi), связанных с ней функциональной зависимостью (функционалом):
y = f(x1, x2, .. xm) ; (1.18)
u(xi) – стандартные неопределенности измеряемых величин x1, x2, .. xm;
∂f/∂xi – частные производные функционала по измеряемым величинам, или коэффициенты их влияния на определяемую величину.
Расширенная неопределенность больше стандартной или суммарной неопределенности в k раз:
U = k·u ; (1.19)
U = k·uc , (1.20)
где k – коэффициент охвата:
k = tp(vf) , (1.21)
равный квантилю распределения Стьюдента tp(v) с эффективным числом степеней свободы vf и доверительной вероятностью p (табл. 1.5).
Таблица 1.5
Значение квантилей tp(v) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с v степенями свободы
v |
p = 0,95 |
p = 0,99 |
v |
p = 0,95 |
p = 0,99 |
3 |
3,182 |
5,841 |
16 |
2,120 |
2,921 |
4 |
2,776 |
4,604 |
18 |
2,101 |
2,878 |
5 |
2,571 |
4,032 |
20 |
2,086 |
2,845 |
6 |
2,447 |
3,707 |
22 |
2,074 |
2,819 |
7 |
2,365 |
3,499 |
24 |
2,064 |
2,797 |
8 |
2,306 |
3,355 |
26 |
2,056 |
2,779 |
9 |
2,262 |
3,250 |
28 |
2,048 |
2,763 |
10 |
2,228 |
3,169 |
30 |
2,042 |
2,750 |
12 |
2,179 |
3,055 |
∞ |
1,960 |
2,576 |
14 |
2,145 |
2,977 |
|
|
|
Эффективное число степеней свободы определяют по формуле
, (1.22)
где vi – число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины по ni наблюдениям:
vi = ni – 1 – для вычисления неопределенности по типу A;
vi = ∞ – для вычисления неопределенности по типу B.
На практике для равномерного закона распределения полагают
k =1,65 при p = 0,95 и k =1,71 при p = 0,99;
для закона нормального распределения
k =2 при p = 0,95 и k =3 при p = 0,99.
Сравнивая расчеты неопределенности с расчетами погрешностей измерения [37], легко убедиться в большей ясности, простоте и меньшей трудоемкости расчетов неопределенности.
Однако настораживает то обстоятельство, что неопределенность не учитывает переменность измеряемых величин в пределах одного объекта измерения и, следовательно, необходимость измерения двух граничных значений величины, как это имеет место при измерениях геометрических величин.
По-существу расчеты неопределенности сводятся к нахождению среднего квадратического отклонения. Задаваясь доверительной вероятностью p (0,99; 0,95; 0,90 или меньше), законом распределения, переходим к расширенной неопределенности U и определяем границы интервала, в пределах которого любое значение может быть обоснованно приписано измеряемой величине.
Вычисление стандартной неопределенности по типу B более достоверно, т.к. опирается не только на статистику, но и на дополнительные источники информации.
При проведении совместных работ с зарубежными странами в области стандартизации, метрологии, производства продукции, при подготовке публикаций в зарубежной печати, при выступлениях с докладами на международных научных конференциях, в исследованиях физических констант необходимо приводить данные о неопределенности величин.