1.5 Правила суммирования погрешностей

При суммировании погрешностей следует учитывать, что каждая составляющая погрешность может состоять из двух частей – случайной и систематической

. (1.4)

Систематическая погрешность может быть постоянной и равной математическому ожиданию распределения погрешности, со знаком плюс или знаком минус, или изменяться по линейному или нелинейному закону.

Случайная погрешность ± характеризует рассеивание вариаций погрешностей относительно систематической погрешности и имеет оба знака: и плюс и минус.

Если при расчёте систематической составляющей невозможно установить её знак, то такую систематическую составляющую следует отнести к случайным с равномерным распределением и суммировать квадратически.

Случайная часть характеризует рассеивание распределения погрешности, поэтому в расчётах следует пользоваться половиной размаха погрешности _{i р} :

= ±0,5 _{i р} . (1.5)

Если среднее значение погрешности равно нулю (рис. 1.3 а), то погрешность будет случайной центрированной и будет состоять только из случайной составляющей.

Если погрешность принимает только положительные значения от 0 до + _{i p}, то она является существенно положительной, её среднее значение будет равно половине размаха и иметь знак плюс (рис. 1.3 б).

_i = + 0,5 ± 0,5 _{i р} (1.6)

Если же погрешность принимает только отрицательные значения от 0 до – _{i p}, то она является существенно отрицательной, и её среднее значение будет иметь знак минус (рис. 1.3, в):

_i = – 0,5 + 0,5 _{i р} (1.7)

В общем случае (рис. 1.3, г) систематическая погрешность находится по формуле:

= 0,5 (_{i н} + _{i в}) (1.8)

где _{i н} и _{i в} – соответственно нижняя и верхняя границы погрешности.

Случайная часть погрешности определяется по формуле:

_i = ± 0,5 (_{i в} – _{i н}) = ± 0,5 _{i р} . (1.9)

Суммирование систематических составляющих погрешности осуществляется алгебраически, а случайных – квадратически:

. (1.10)

Погрешность прибора _пр характеризуется предельным значением, т.е. максимальной в абсолютном выражении сумме среднего значения (систематической части) и предельного значения (случайной части) суммарной погрешности:

_пр = . (1.11)

Расчёт точности измерительных приборов по формулам (1.4) – (1.11) выполняется с доверительной вероятностью p = 0,99, т.к. учитываются предельные значения случайных погрешностей, и принимается нормальный закон распределения вероятностей для всех случайных погрешностей. Если рассчитанная погрешность прибора превысит предел допускаемой погрешности, следует перейти на доверительную вероятность p = 0,95 с учётом различия законов распределения погрешностей и суммированием средних квадратических погрешностей [37]. Доверительная вероятность p = 0,95 считается достоверной при технических измерениях линейных и угловых величин в машиностроении [18].

Если случайные составляющие погрешности имеют разные законы распределения, то их суммирование необходимо осуществлять через средние квадратические погрешности [37].

Если же между составляющими случайных погрешностей установлены коррелированные связи, то их суммирование осуществляется с учетом коэффициентов корреляции [37].

Расчёт точности может производиться как для единичного прибора, так и для множества приборов одного типа с учётом различия законов и границ распределения составляющих погрешностей.

а) центрированная случайная погрешность; б) существенно-положительная погрешность; в) существенно-отрицательная погрешность;

г) погрешность общего положения

Рис. 1.3. Случайные погрешности, распределённые по

нормальному закону