x	−3x		− x	+ x	4		= 0
	1		2	3
Имеет ли однородная СЛАУ 2x1		− x2 −2x3 +3x4 = 0 ненулевые решения? Если да, то найти
x + 2x			2	− x	+ 2x		4	= 0
	1			3

их, выписав фундаментальную систему.

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее по методу Гаусса.

		x1 x2			x3 x4																			x x					x x
																								1			2		3		4
1			−3		−1	1		0 (− 2)(−1)																										0
																							1		−3			−1 1
		2	−1		−2	3		0																0	5				0 1				0
		1	2		−1	2		0
																								0	5				0 1				0
				x1 x4 x3 x2																				x1 x4				x3 x2
				1 1 −1 −3										0								1 0					−1		−8				0
			~																		~
																			(−1)
			0 1 0				5							0								0 1 0								5			0

Число неизвестных n=4, r(A)=r(B)=2. Поскольку r(A)=r(B)<n,то однородная СЛАУ имеет ненулевые решения. Чтобы определить фундаментальную матрицу, выпишем систему, которая соответствует полученной расширенной матрице.

													x		− x		−8x		= 0 x				=8x		2	+ x
														1		3		2			,	1				3 .
														x4 +5x2 = 0								x4 = −5x2
Неизвестные x2 и x3 –										свободные, их можно задавать произвольно. Обозначим: x2 = C1 и
x3 = C2 , где C1, C2							– любые вещественные числа. Выпишем решение системы X в матричном
виде:
	x					8C +C			2						8				1
	1						1
X =	x2		=		C1 + 0 C2					= C					1		+C		0		= C X		1	+C X			2	.
	x				0 C			+C					1		0		2		1		1				2
	3						1		2
	x				−5C +0 C										−5				0
	4						1			2
					8					1
					1						0
Решения X1 =							и						образуют фундаментальную систему решений.
					0			X2 =			1
											0
				−5

1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства

1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.

Определение 1.3.1

Множество X называется линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие три условия:

14