Задача 1.6.4

Вычислить расстояние от точки M (5; 4)

до прямой,

проходящей через точки

A(1; − 2)

и

B(0; 3).

Решение

−1

r

и ее каноническое уравнение имеет

Для прямой AB направляющий вектор s

= AB =

5

вид

x −1

=

y + 2

.

Преобразуем

его к

виду 5x + y −3 = 0 , а затем

к

нормальному виду

−1

5

5x

+

y

−

3

= 0 . Тогда расстояние от точки M до прямой определяется из соотношения

26

26

26

25

4

3

=

26

= 26 .

r =

+

−

26

26

26

26

1.6.2. Уравнения плоскости

Теорема 1.6.2.

Линейное

уравнение с тремя

переменными Ax + By + Cz + D = 0

задает в пространстве

плоскость.

Доказательство

A

задана точка M 0 (x0, y0 ,z0 ),

1.

Пусть

принадлежащая плоскости,

и вектор

n = B ,

C

перпендикулярный плоскости. Ясно, что через данную точку перпендикулярно данному вектору можно провести только одну плоскость (рис. 1.6.5).

n

M

M 0
Рис. 1.6.5.
		x − x
Если точка M (x, y,z) принадлежит искомой	плоскости, то вектор M0 M =		0
		y − y0
		z − z
			0
коллинеарен этой плоскости и ортогонален вектору	n . Из ортогональности векторов следует

(M0M , n)= 0 . Выразив скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов,
получим	A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0. В последнем уравнении раскроем скобки и
обозначим	D = −A x0 − B y0 −C z0 . Получим уравнение A x + B y +C z + D = 0. Это линейное

уравнение, причем коэффициенты при переменных x, y, z - координаты нормального вектора n . 2. Пусть (x0, y0 , z0 ) - какое-то решение уравнения

47

A x + B y + C z + D = 0.	(1)
Это означает, что справедливо
A x0 + B y0 + C z0 + D = 0.	(2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим

A x − A x0 + B y − B y0 +C z −C z0 = 0 , или A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0.

Получили уравнение, которое, является уравнением плоскости, проходящей через точку

M 0 (x0, y0,z0 )и перпендикулярной вектору n .

Уравнение плоскости с нормальным вектором

Уравнение A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0, где x0 , y0 , z0 - координаты любой точки,

принадлежащей плоскости, A, B,C - координаты любого вектора n , перпендикулярного

плоскости, называется уравнением плоскости с нормальным вектором. Вектор n называется нормальным вектором.

Если

две

плоскости

заданы

уравнениями

A1 x + B 1 y + C 1 z + D1 = 0

и

A

A

A2 x + B 2

y + C 2

z + D2 = 0 , то заданы их нормальные векторы n1

1

n2

2

= B1

и

= B2

. Угол α

C

C

2

1

между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Тогда для косинуса этого угла справедлива формула:

cos α =		(n1 , n2 )			=	A1 A2 + B1B2 +C1C2	.
		n1		n2		A12 + B12 +C12 A22 + B22 +C22

Условие параллельности плоскостей имеет вид:

n		n	, или	A1	=	B1	= C1 .
1		2		A2		B2	C2

Условие перпендикулярности плоскостей определяется из соотношения:

n1 , n2 = 0 , или A1 A2 + B1B2 +C1C2 = 0 .

Задача 1.6.5

Какие из заданных точек A(2,−2,−1), B (1, 0,−2), C (−1,−1, 4), D (4,5, 0) принадлежат плоскости, заданной уравнением x − y + 5z +1= 0?

Решение

Чтобы выяснить, лежит ли точка в плоскости, надо в уравнение плоскости подставить ее координаты. Поскольку

2 −(− 2)+ 5 (−1)+1= 0,	1− 0 + 5 (− 2)+1≠ 0,
−1− (−1)+ 5 4 +1≠ 0,	4 −5+ 5 0 +1= 0 ,
то заданной плоскости принадлежат только точки A и D .

48

Задача 1.6.6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A (1,−1,−2) перпендикулярно вектору

AB , если B (−1, 2, 3).

Решение

	− 2
	3
Вектор AB =		является	нормальным вектором	плоскости.	В уравнение
	5
A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0			подставим вместо A, B ,C	координаты	вектора AB , а

вместо x0 , y0 , z0 - координаты точки A . Получим

− 2 (x −1)+ 3( y +1)+ 5 (z + 2)= 0 , или − 2x + 3y + 5z +15 = 0.

Задача 1.6.7

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (−1, 2,−3), параллельно плоскости, заданной уравнением 4x + y − 2z + 2 = 0.

Решение

Уравнение плоскости будем искать в виде:		A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0. Вместо
x0 , y0 , z0 подставим в это уравнение координаты точки M 0 . Из уравнения заданной плоскости
		4
найдем координаты ее нормального вектора n =		1
			. Так как плоскости параллельны, то этот
		− 2

вектор является нормальным и для искомой плоскости. Подставив его координаты в уравнение, получим

4 (x +1)+ ( y − 2)− 2 (z + 3)= 0, или 4x + y − 2z − 4 = 0.

Задача 1.6.8

Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями x − 2y + z −1= 0 и x + 2y − z + 3 = 0.

Решение

	1			1
Нормальные векторы заданных плоскостей n1 =	−	2 ,	n2 =	2	. Если обозначить через
1			−1
α - угол между плоскостями, то

cos α =		(n1 , n2 )			=	1−2 −1	=	−2	= −	1	.
		n1		n2		1+ 2 +1 1+ 2 +1		4		2

Следовательно, угол α =120o .

49

Задача 1.6.9

При каких значениях l и m заданные плоскости mx + 3y − 2z −1= 0 , 2x −5y −lz −1= 0 параллельны?

Решение

m

2

Нормальные векторы

заданных

плоскостей

n1 =

3

,

n2 =

−5

. Из условия

− 2

−l

параллельности следует:

m

=

3

=

− 2

. Тогда m = −

6

и

l = −

10 .

2

−5

−l

5

3

Теорема 1.6.3

Если задана точка M 0 (x0 , y0 , z0 ), принадлежащая плоскости, два вектора a и b , коллинеарные плоскости и не коллинеарные между собой, то для этой плоскости используется

уравнение A(x − x0 )+ В(y − y0 )+C(z − z0 )= 0, где нормальный вектор n = a,b (рис. 1.6.6).

[av, b ]

nv

b a

Рис. 1.6.6.

Задача 1.6.10

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, 2,−3), M 2 (4, −1,−4) и

M 3 (−1, −5, 2 ).

Решение

[M 1M 2 , M 1M 3 ]

n

M 3

M 2

M 1

Рис. 1.6.7.

50