1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства

r	x
	1
Если a	= y1	и
	z
	1

r	x2
			R3 , то их скалярное произведение
b	= y2	– векторы пространства
	z2

вычисляется по формуле:

(a,b )= x1x2 + y1y2 + z1z2

иподчиняется следующим законам:

•(a,b)= (b, a), a,b R3 ;

•(a +b, c)= (a, c)+ (b, c);

•(αa,b)= (a, αb)= α(a,b), a,b R3 , α – число;

•(a, a )≥ 0 ;

		= 0, если векторы	a и b ортогональные.
• a,b

Для скалярного умножения векторов справедливы также формулы сокращенного умножения:

1.(ar+br, ar−br)= (ar, ar)−(br, br)= ar 2 − br 2 .

2.(ar±b, ar±b )= (ar, ar)± 2(ar, b )+(b, b ).

3.(ar, ar)= av2 .

ЗАМЕЧАНИЕ

(a,b)

Для скалярного произведения

в пространстве R3 наряду с

обозначением

используется

обозначение ar

.

b

Геометрический смысл скалярного произведения

Теорема 1.4.1.

(a,b)=

ar

b

cosα, где знак

модуля использован для

обозначения

длины

(величины)

r

r

векторов a

и b , а α – угол между ними.

Доказательство

Вычислим квадрат длины вектора ar −b (рис. 1.4.1) двумя способами, используя теорему косинусов и по определению нормы вектора.

r

r

2

=

r

2

− 2

r

r

+

r

2

(1)

a

−b

a

a

b

b

ar −br

2 = (ar −br, ar −br)= (ar, ar)− 2(ar,br)+ (br,br)=

ar

2 − 2(ar,br)+

br

2

(2)

r a

α

ar−bv

r b

Рис. 1.4.1.

24